Question

Para que valor de y a sequência (y2 - 2,y + 5,4y +4) é uma P.A crescente?

Answer 1

Resposta:

y=2

Explicação passo-a-passo:

Numa PA

(a₁,a₂,a₃,a₄,....)

a razão é:

r=a₂-a₁

r=a₄-a₃

Ou

a₂-a₁=a₄-a₃

(y²-2, y+5, 4y+4)

r=y+5-(y²-2)=y+5-y²+2= -y²+y+7 (I)

r=4y+4-(y+5)=4y+4-y-5=3y-1 (II)

(I)=(II)

-y²+y+7=3y-1

y²+2y-8=0

$Aplicando~a~f\'{o}rmula~de~Bhaskara~para~y^{2}+2y-8=0~~\\e~comparando~com~(a)y^{2}+(b)y+(c)=0,~temos~a=1{;}~b=2~e~c=-8\\\\\Delta=(b)^{2}-4(a)(c)=(2)^{2}-4(1)(-8)=4-(-32)=36\\\\y^{'}=\frac{-(b)-\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(2)-\sqrt{36}}{2(1)}=\frac{-2-6}{2}=\frac{-8}{2}=-4\\\\y^{''}=\frac{-(b)+\sqrt{\Delta}}{2(a)}=\frac{-(2)+\sqrt{36}}{2(1)}=\frac{-2+6}{2}=\frac{4}{2}=2$

Para y´=y= -4

de (II)

r=3y-1 =3(-4)-1= -12-1= -13

Como a razão (r) é negativa ela é decrescente e para esse problema não serve.

Para y"=y=2

de (II)

r=3y-1 =3.(2)-1=6-1=5

Como a razão (r) é positiva então é crescente. O valor é de y=2.

Answer 2

Olá, boa tarde ◉‿◉

A PA de três termos possui uma "propriedade" que diz:

"O termo do meio é igual ao média dos extremos"

Sabendo disso, vamos aplicar essa propriedade:

$</em><em> </em><em>\</em><em>b</em><em>o</em><em>x</em><em>e</em><em>d</em><em>{</em><em>PA</em><em> \: \: (y { }^{2} - 2, \: y + 5, \: 4y + 4)</em><em>}</em><em>$

$y + 5 = \frac{y {}^{2} - 2 + 4y + 4 }{2} \\ \\ y + 5 = \frac{y {}^{2} + 4y + 2}{2} \\ \\ 2.(y + 5) = y {}^{2} + 4y + 2 \\ \\ 2y + 10 = y {}^{2} + 4y + 2 \\ \\ y {}^{2} + 4y + 2 - 2y - 10 = 0 \\ \\ \boxed{y {}^{2} + 2y - 8 = 0}$

Enfim chegamos nesse equação, então vamos resolver através de Delta e Bháskara:

I) Coeficientes:

$\begin{cases} a = 1 \\ b = 2 \\ c = - 8\end{cases}$

II) Discriminante (∆):

$\Delta = b {}^{2} - 4.a.c \\ \Delta = (2) {}^{2} + 4.1.( - 8) \\ \Delta =4 + 32 \\ \boxed{\Delta = 36}$

III) Bháskara:

$</em><em>y</em><em> = \dfrac{ - b\pm \sqrt{\Delta} }{2.a} \\ \\ </em><em>y</em><em> = \frac{ - 2 \pm \sqrt{36} }{2.1} \\ \\ </em><em>y</em><em> = \frac{ - 2 \pm6}{2} \\ \\ </em><em>y</em><em>_1= \frac{ - 2 + 6}{2} \\ </em><em>y</em><em> _1 = \frac{4}{2} \: \: \\ \boxed{ \boxed{</em><em>y</em><em>_1 = 2}} \\ \\ </em><em>y</em><em>_2 = \frac{ - 2 - 6}{ 2} \\ </em><em>y</em><em>_2 = \frac{ - 8}{2} \\ \boxed{\boxed{</em><em>y</em><em>_2 = - 4}}$

Note que a questão quer saber uma PA Crescente, ou seja, r > 0, então vamos desprezar o valor (y" = -4), adotaremos então (y = 2).

Ou seja, para que ela seja uma PA crescente o valor de "y" deve ser:

$\huge\boxed{y = 2}}$

Substituindo:

$PA = (y {}^{2} - 2, \: y + 5, \: 4y + 4) \\ \\ (2 {}^{2} - 2, \: 2 + 5 , \: 4.2 + 4) \\ \\ (4 - 2, \: 7 \: ,8 + 4) \\ \\ \huge\boxed{PA(2, \: 7 , \: 12...)}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️