Para que valor de m os pontos A(m 1 2), B(2 -2 -3), C (5 -1 1) e D(3 -2 -2), são coplanares?
Soluções para a tarefa
Inicialmente, deve-se observar que se os pontos A, B, C e D são coplanares, isso significa que os vetores AB, AC e AD também são coplanares.
Para que os vetores AB, AC e AD sejam coplanares, o seu produto misto deve ser igual a zero: <AB, AC x AD> = 0
O produto misto é calculado a partir da determinante da matriz formada pelos vetores.
Dados: A(m 1 2), B(2 -2 -3), C (5
-1 1) e D(3 -2 -2)
Para determinar os vetores, deve-se fazer a subtração das coordenadas, conforme abaixo:
AB = (2-m -2-1 -3-2)
AB = (2-m -3 -5)
AC = (5-m -1-1 1-2)
AC = (5-m -2 -1)
AD = (3-m -2-1 -2-2)
AD = (3-m -3 -4)
A matriz formada pelos vetores dados é a matriz quadrada 3x3 abaixo:
|2-m -3 -5|
|5-m -2 -1|
|3-m -3 -4|
Para o cálculo da determinante, deve-se repetir as duas primeiras colunas:
|2-m -3 -5| 2-m -3
det = |5-m -2 -1| 5-m -2 = 0
|3-m -3 -4| 3-m -3
A seguir realizar a soma do produto das diagonais principais e secundárias e subtrair uma da outra:
Diagonais principais (em negrito abaixo):
|2-m -3 -5| 2-m -3
|5-m -2 -1| 5-m -2
|3-m -3 -4| 3-m -3
(2-m)*(-2)*(-4) + (-3)*(-1)*(3-m) + (-5)*(5-m)*(-3) =
8*(2-m) + 3*(3-m) + 15*(5-m) =
16 – 8m + 9 – 3m + 75 – 15m =
100 – 26m
Diagonais secundárias (em negrito abaixo):
|2-m -3 -5| 2-m -3
|5-m -2 -1| 5-m -2
|3-m -3 -4| 3-m -3
(-5)*(-2)*(3-m) + (2-m)*(-1)*(-3) + (-3)*(5-m)*(-4) =
10*(3-m) + 3*(2-m) + 12*(5-m) =
30 – 10m + 6 – 3m + 60 – 12m =
96 – 25m
Subtraindo diagonais principais das secundárias e igualando a zero:
(100 – 26m) – (96 – 25m) = 0
100 – 26m – 96 + 25m = 0
4 – m = 0
m = 4
Resposta: para que os pontos A, B C e D dados
sejam coplanares, m=4.
Resposta: Só dando uma dica
Explicação:
Ao invés de você comparar os vetores igual ele fez, AB AC AD, compare outro com o restante, pelo fato de o ponto a possuir a variável m, fica mais chato calcular o determinante, use por exemplo DC DB DA, é bem mais fácil.