Question

Para que valor de m os pontos A (m, 1,2), B (2,-2,-3), C (5,-1,1) e D (3,-2,-2) são coplanares?

a. m= -4

b. m= -3

c. m= 4

d. m= 3

Answer 1

Inicialmente, deve-se observar que se os pontos A, B, C e D são coplanares, isso significa que os vetores AB, AC e AD também são coplanares.

Para que os vetores AB, AC e AD sejam coplanares, o seu produto misto deve ser igual a zero: <AB, AC x AD> = 0

O produto misto é calculado a partir da determinante da matriz formada pelos vetores.

Dados: A(m 1 2), B(2 -2 -3), C (5 -1 1) e D(3 -2 -2)

Para determinar os vetores, deve-se fazer a subtração das coordenadas, conforme abaixo:

AB = (2-m   -2-1   -3-2)

AB = (2-m   -3   -5)

 

AC = (5-m   -1-1   1-2)

AC = (5-m   -2   -1)

 

AD = (3-m   -2-1   -2-2)

AD = (3-m   -3   -4)

 

A matriz formada pelos vetores dados é a matriz quadrada 3x3 abaixo:

|2-m   -3   -5|

|5-m   -2   -1|

|3-m   -3   -4|

 

Para o cálculo da determinante, deve-se repetir as duas primeiras colunas:

 

          |2-m   -3   -5| 2-m   -3

det = |5-m   -2   -1| 5-m   -2 = 0

          |3-m   -3   -4| 3-m   -3

 

A seguir realizar a soma do produto das diagonais principais e secundárias e subtrair uma da outra:

 

Diagonais principais (em negrito abaixo):

|2-m   -3   -5| 2-m   -3

|5-m   -2   -1| 5-m   -2

|3-m   -3   -4| 3-m   -3

 

(2-m)*(-2)*(-4) + (-3)*(-1)*(3-m) + (-5)*(5-m)*(-3) =

8*(2-m) + 3*(3-m) + 15*(5-m) =

16 – 8m + 9 – 3m + 75 – 15m =

100 – 26m

 

Diagonais secundárias (em negrito abaixo):

|2-m   -3   -5| 2-m   -3

|5-m   -2   -1| 5-m   -2

|3-m   -3   -4| 3-m   -3

 

(-5)*(-2)*(3-m) + (2-m)*(-1)*(-3) + (-3)*(5-m)*(-4) =

10*(3-m) + 3*(2-m) + 12*(5-m) =

30 – 10m + 6 – 3m + 60 – 12m =

96 – 25m

 

Subtraindo diagonais principais das secundárias e igualando a zero:

(100 – 26m) – (96 – 25m) = 0

100 – 26m – 96 + 25m = 0

4 – m = 0

m = 4

Resposta: para que os pontos A, B C e D dados sejam coplanares, m=4. (ALTERNATIVA c)