Question

Para que valor de kos pontos A (k, -1, 5), B (7, 2, 1), C (-1, -3, -1) e D (1, 0, 3) são coplanares?a) -3
b)-1
c)3

Answer 1

faça o produto misto entre AB, BC, e CD e o resultado deve ser 0(zero)

determinante de
|7-k  3  -4| (vetor AB)
|-8   -5  -2| (BC)
| 2    3   4| (CD)

20k -140 -12 +96 -40 +96 +42 -6k = 0
14k = -42
k = -3

resposta letra a

Answer 2

Boa noite Daniel! em primeiro lugar, é bom saber que pra que os vetores sejam coplanares ele precisam pertencer ao mesmo plano. segundo, para sabermos se os vetores são coplanares, basta fazer o produto misto, que quer dizer a diferença entre os vetores, e por último encontrar o determinante da matriz dos vetores encontrados do resultado do produto misto, e esse resultado tem que ser igual a zero, VAMOS LÁ:

    Para que o valor dos pontos A (k, -1, 5), B (7, 2, 1), C (-1, -3, -1) e D (1, 0, 3) são coplanares?

FAZENDO O PRODUTO MISTO DOS VETORES.
 AB, BC, CD, LOGO:
          AB = (B-A) = ( 7-K, 2-(-1), 1-5)= (7-K, 3, -4)
         
         BC = (C-B) = (-1-7, -3-2, -1-1)= (-8, -5, -2)

          CD = (D-C)= (1-(-1), 0-(-3), 3-(-1))= (2, 3, 4)

Logo: Substituindo os valores na matriz, temos...
                                                                        |7-k  3  -4|
                                                                        |-8   -5  -2| = DP - DS
                                                                        | 2    3   4| 

                                                        20k -140 -12 +96 -40 +96 +42 -6k = 0
                                                                             14k = -42
                                                                                 k = -3 sendo assim a resposta é letra a, e os vetores não são coplanares entre si.