Question

para que os valores reais de x a função f(x)= x2+7x+10 é positiva?

Answer 1

Bom, encontrando as raízes, nós temos:

$\displaystyle \Delta = b^2 - 4 \cdot a \cdot c \\ \\ \Delta = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 \\ \\ \Delta = 9 \\ \\ \\ \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 \cdot a} \\ \\ \\ \frac{-7 \pm 3}{2} \\ \\ x' = -2 \\ \\ x''=-5$

Pronto, agora vamos derivar a função e igualar a zero para encontrar seu vértice. A partir disso saberemos se a concavidade é voltada para cima ou para baixo:

$\displaystyle y = x^2+7x+10 \\ \\ y' = 2x+7 \\ \\ 2x+7=0 \\ \\ 2x=-7 \\ \\ x = -\frac{7}{2} = -3,5$

Fazendo f(-7/2):

$\displaystyle f(-7/2) = \bigg( -\frac{7}{2} \, \, \,\bigg)^2 + 7 \cdot \bigg(-\frac{7}{2} \bigg)+10 \\ \\ \\ f(-7/2) = \frac{49}{4}-\frac{49}{2}+10 \\ \\ \\ f(-7/2) = -\frac{9}{4} = -2,25$

O vértice ocorre em P(-7/2,-9/4), e a função possui raízes em x = -2 e -5, o que indica que tem concavidade voltada para cima, e com isso, assume valores positivos somente à esquerda de -5 e à direita de -2, entre -5 e -2 assume valores negativos.

Answer 2

Bom dia

x² + 7x + 10 > 0 

as raízes

delta
d² = 49 - 40 = 9
d = 3

x1 = (-7 + 3)/2 = -2
x2 = (-7 - 3)/2 = -5 

a função é positiva para x "fora* das raízes

x < -5
x > -2