Question

Para que os valores reais de m a equação
${2}^{x} + {2}^{ - x} = m$
admite pelo menos uma raiz real?
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Answer 1

Utilizando substituições em equações exponenciais , temos que para existir ao menos uma solução real para esta equação é necessario que:

$m \geq 2$

$m \leq -2$

Explicação passo-a-passo:

Então temos a seguinte equação exponencial:

$2^x+2^{-x}=m$

Porém eu vou reescrever ela de uma outra forma:

$2^x+(2^{x})^{-1}=m$

Agora eu vou substituir $2^x$, por outra variavel:

$2^x=y$

Assim nossa equação fica:

$2^x+(2^{x})^{-1}=m$

$y+y^{-1}=m$

Multiplicando os dois lados por y, temos:

$y^2+1=my$

Ou ainda:

$y^2-my+1=0$

Assim esta é uma equaçãe segundo grau e se ela tiver ao menos uma solução real, então x também terá ao menos 1, então para isso precisamos que o Delta desta equação de segundo grau seja maior(duas raízes) ou igual a 0 (1 raíz), assim fazendo o Delta dela:

a = 1

b = -m

c = 1

$\Delta=b^2-4.a.c$

$\Delta=(-m)^2-4.1.1\geq0$

$m^2-4\geq0$

$m^2\geq 4$

Para isto temos a solução:

$m \geq 2$

$m \leq -2$