Question

Para que o valor de a o sistema linear:

x1 + x2 + x3 = 1
2x1 + 3x2 + 4x3 = a
-x2 -2x3 = $a^{2}$

Admite solução?

No livro a resposta é a=-2 e a=1. Mas não consigo progredir na resposta.
No anexo tem o print da questão.

Answer 1

Olá!

para simplificar a escrita e agilizar, irei considerar as variáveis x1, x2 e x3 como sendo, respectivamente, x, y e z.

Logo teremos:

x. + y + z = 1
2x + 3y + 4z = a
- y - 2z = a²

Consideraremos as linhas L1, L2 e L3 para os seguintes sistemas lineares:

L1: x + y + z = 1
L2: 2x + 3y + 4z = a
L3: -y -2z = a²

Eu preciso anular a variável x da linha 2. Sendo assim, eu multiplico a linha 1 por -2 e somo com a linha 2: -2×L1 + L2.

-2x - 2y - 2z = -2
2x + 3y + 4z = a
-------------
y + 2z = a -2 ← resultado de -2×L1 + L2.

Substituindo a linha 2 pelo resultado acima, obtendo uma nova linha 2:


x + y + z = 1
y + 2z = a - 2
- y - 2z = a²

agora, somo a nova linha 2 com a linha 3: L2 + L3.

y + 2z = a - 2
- y - 2z = a²
----------
0 = a² + a - 2 ← resultado de L2 + L3

as variáveis y e z acabam se anulando, tornando o resultado igual a zero.

Substitua o resultado acima no sistema:

x + y + z = 1
y + 2z = a - 2
0z = a² + a - 2

Observe que na última linha, L3, obtemos uma equação de segundo grau. Aplique Baskhara e descubra os valores de a1 e a2:

a² + a - 2 = 0 → a= 1, b= 1 e c= -2.

∆ = b² - 4ac
∆ = (1)² - 4(1)(-2)
∆ = 1 + 8 = 9

a = (-b ± √∆)/2a
a = (-1 ± √9)/2(1)
a = (-1 ± 3)/2

a1 = (-1+3)/2 = 2/2 = 1

a2 = (-1-3)/2 = -4/2 = -2


Logo, temos que a = 1 ou a = -2.

Chegamos no seu resultado! Espero ter te ajudado!