Question

Para que o polinômio P(x) = (a + bx).(x + 2) + (c - 2).(x + 3) seja identicamente igual ao polinômio Q(x) = 2x2 + 2x – 8, deve-se ter: a) a = 2, b = -2 e c = 2 b) a = 1, b = -2 e c = 2 c) a = 2, b = 2 e c = -2 d) a = 3, b = -2 e c = 3 e) a = 1, b = -1 e c = -2

Answer 1

Duas funcões polinomiais podem ser facilmente comparáveis se apresentarem a mesma forma canônica. Por isso, teremos que escrever a função definida por P(x) na forma em que está Q(x).

Assim sendo:

P(x) = (a + bx)•(x + 2) + (c — 2)•(x + 3)

P(x) = ax + 2a + bx² + 2bx + cx + 3c — 2x — 6

Organizando, de acordo com a ordem decrescente do grau da variável x:

P(x) = bx² + ax + 2bx + cx — 2x + 2a + 3c — 6

P(x) = bx² + (a + 2b + c — 2)x + 2a + 3c — 6

Finalmente, encontramos uma expressão que se assemelha à que está definida em função de Q(x). E, também, fica evidente que, se quisermos que P(x) = Q(x), então os coeficientes de x devem ser iguais.

Portanto, as seguintes igualdades são verdadeiras:

• b = 2; (são os coeficientes da variável x², em cada uma das expressões, P e Q)
• a + 2b + c — 2 = 2; (são os coeficientes x);
• 2a + 3c — 6 = — 8 (são coeficientes sem a variável x, ou seja, os termos independentes).

Definitivamente, o valor de b = 2.

Portanto, na segunda equação, teremos:

a + 2b + c — 2 = 2, como b = 2

=> a + 2•2 + c — 2 = 2

=> a + 4 + c — 2 = 2

=> a + c = 2 + 2 — 4

=> a + c = 0 (i)

E, operando com a última equação:

2a + 3c — 6 = — 8

=> 2a + 3c = — 8 + 6

=> 2a + 3c = — 2 (ii)

Note que, de três equações com três variáveis, ficamos com duas (i e ii) e com duas variáveis, portanto, podemos dispô-las num sistema de duas equações à duas incógnitas. Como se segue:

{ a + c = 0 (i)

{ 2a + 3c = — 2 (ii)

=>

{ a = — c

{ 2•(—c) + 3c = — 2

=>

{ ------

{ — 2c + 3c = — 2

=>

{ ------

{ c = — 2

=>

{ a = — (— 2)

{ c = — 2

=>

{ a = 2

{ c = — 2

RESPOSTA: para que as funções polinomiais P(x) e Q(x) sejam iguais, então, os coeficintes a, b e c, devem ser:

• a = 2;
• b = 2;
• c = — 2.

Letra C.

Espero ter ajudado!