Question

Para que o dominio da função f(x)=√x(x -k)+1 seja todo o conjunto dos reais, deve-se ter:
a) k<0
b) k >-1
c) -1≤k≤1
d) -2 ≤ k ≤2
e) -1≤ k ≤3
$\sqrt{x(x - k) + 1}$
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Answer 1

O domínio de uma função é o conjunto $X : \{x \epsilon X\}$ tal que esteja definida a função $f(x)$

Para que o domínio seja Todos os reais então para cada $x \epsilon R$ a função $f(x)$ tem que estar definida.

Seja a função dada:

$f(x) = \sqrt{x(x-k)+1}$

pela regra da distributividade:

$f(x) = \sqrt{x^2 - xk+1}$

Pelo método de completar quadrados, obtemos:

$f(x) = \sqrt{( x - \frac{k}{2})^2 - \frac{k}{4} +1}$

para que f(x) seja válida, os valores dentro da raíz não podem ser negativos.

fazendo $( x - \frac{k}{2})^2 - \frac{k}{4} +1 = 0$ podemos encontrar os valores de x que zeram a função.

$( x - \frac{k}{2})^2 - \frac{k}{4} +1 =0 \\\\ ( x - \frac{k}{2})^2 - \frac{k+4}{4} =0 \\\\ ( x - \frac{k}{2})^2 = \frac{k+4}{4} \\\\ ( x - \frac{k}{2}) = \sqrt \frac{k+4}{4}$

Logo $k \geqslant -4$ é o valor de k para o qual todo x real satisfaz a função.