Question

Para que a soma dos n primeiros termos da progressão geométrica 3,6,12,24,... seja um número compreendido ...?
entre 50 000 e 100 000 deveremos tomar n igual a:

Answer 1

Queria estudar mas quando aparece uma questão dessa num posso perdoar kkkk

$a_n=a_1*q^{n-1}$

pra gente descobrir a razão é simples

$q=\frac{a_n}{a_{n-1}}$

$q=\frac{a_2}{a_{2-1}}$

$q=\frac{a_2}{a_{1}}$

$q=\frac{6}{3}$

$\boxed{q=2}$

Agora a soma dos termos de uma PG é dada por

$S_n=a_1*\frac{(1-q^n)}{1-q}$

antes de tudo, só por curiosidade, vamos ver se 50,000 e 100,000 são múltiplos de $a_1$

$\frac{50,000}{3}=16,666+2$

portanto o número que é múltiplo de 3, é 

$50,001$

$\frac{100,000}{3}=33,333+1$

portanto o número que é múltiplo de 3, é 

$99,999$

Agora sim podemos seguir a diante

$S_n=a_1*\frac{(1-q^n)}{(1-q)}$

$50,001=3*\frac{(1-2^n)}{(1-2)}$

$50,001=3*(-1+2^n)$

$16,667=2^n-1$

$\log_2(2)^n=\log_2(16,668)$

$\boxed{\boxed{n\approx14}}$

Agora

$99,999=3*\frac{(1-2^n)}{(1-2)}$

$99,999=3*(-1+2^n)$

$\log_2(2)^n=\log_2(33,334)$

$\boxed{\boxed{n=15}}$

Portanto, chegamos a conclusão que:

$\boxed{\boxed{n=14~~ou~~n=15}}$

Se você tentar fazer com $n=14$ vai ver que vai dar um número por volta de 49149, então a resposta correta seria

$\boxed{\boxed{\boxed{n=15}}}$