Question

para que a soma das raizes da equacao x2-(k-2)x+3k=0 seja igual ao seu produto devemos ter k igual a ?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Iasmyne,que é simples.

Pede-se o valor de "k" para que a soma das raízes seja igual ao seu produto.

Antes veja que uma equação do 2º grau, da forma ax² + bx + c = 0, a soma e o produto das raízes são dados por:

soma: -b/a
produto: c/a

Assim, sabendo-se disso, então a equação da sua questão, que é esta:

x² - (k-2)x + 3k = 0 tem-se os seguintes coeficientes:

a = 1 --- (é o coeficiente de x²)
b = -(k-2) --- (é o coeficiente de x)
c = 3k ----- (é o termo independente).

Assim, considerando que queremos que a soma das raízes seja igual ao seu produto, então deveremos ter isto: "-b/a" = "c/a" ---- fazendo as devidas substituições (vide coeficientes acima), teremos:

-[-(k-2)]/1 = 3k/1 ---- retirando-se os colchetes, ficaremos apenas com:
(k-2)/1 = 3k/1 ---- ou apenas:
k-2 = 3k ---- passando '3k" para o 1º membro e "-2" para o 2º, teremos:

k - 3k = 2
- 2k = 2 ------ multiplicando ambos os membros por "-1", teremos:
2k = - 2
k = -2/2
k = - 1 <---- Esta é a resposta. "k" deverá ser igual a "-1" para que a soma das raízes seja igual ao seu produto.

Bem, a resposta já está dada. Agora, só por curiosidade, veja que se k = -1, então a equação ficaria assim:

x² - (k-2)x + 3k = 0 ----- substituindo "k" por "-1", teremos:
x² - (-1-2)x + 3*(-1) = 0
x² - (-3)x - 3 = 0
x² + 3x - 3 = 0 ------ se você aplicar Bháskara vai encontrar as seguintes raízes:

x' = [-3-√(21)/2
x'' = [-3+√(21)]/2

Agora veja que a soma deverá dar exatamente igual ao produto.
Vamos à soma:

[-3-√(21)]/2 + [-3+√(21)]/2 = [-3-√(21) - 3+√(21)]/2 = -6/2 = - 3 <--- Esta é a soma das raízes.

Agora vamos ao produto:

[-3-√(21)]/2 * [-3+√(21)]/2 = (9-21)/4 = -12/4 = - 3 <--- Este é o produto das raízes.

Como você viu, realmente temos que a soma das raízes é exatamente igual ao seu produto.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.