Question

Para que a equação x² + y² -4x +8y + k = 0 represente uma circunferência, devemos ter que o valor para k:

Answer 1

Toda circunferência de raio r centrada em (a,b) é descrita algebricamente como:

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$    (1)

Observe que (1) é uma expressão que envolve quadrados perfeitos que são expressões do tipo (a+b)^2, criemos esses quadrados na expressão dada pelo exercício:

$x^2+y^2-4x+8y+k=0$

Observe que $x^2-4x$ teria potencial para se tornar $x^2-4x+4=(x-2)^2$,ora, façamos com que isto aconteça somando o 4 que falta e subtraindo novamente, o mesmo façamos com $y^2+8y$ que é quase $(y+4)^2$:

$x^2-4x+4-4+y^2+8y+16-16+k=0$ 

$(x-2)^2-4+(y+4)^2-16+k=0$

$(x-2)^2+(y+4)^2=20-k$

Temos então uma uma equação de circunferência centrada em (2,-4) cujo raio é $\sqrt{20-k}$, observe que para que a circunferência não seja degenerada num ponto (raio=0) e para que a expressão dentro da raiz seja positiva devemos obrigatoriamente ter:

$20-k>0$

$k < 20$

Logo, a circunferência dada existe $\forall k \in (- \infty, 20)$