Question

Para que a equação x² + y² -4x +8y + k = 0 represente uma circunferência, devemos ter que o valor para k:

Answer 1

Toda circunferência tem a seguinte equação reduzida: $(x-a)^{2} + (y-b)^{2} = R^{2}$

Onde:

$(a,b)$ → centro da cincunferência

$R$ → raio da circunferência

Teremos que transformar a equação geral dada, de modo que sua forma reduzida represente uma circunferência:

$x^{2} + y^{2} -4x+8y+k=0$

$x^{2} -4x+4-4+ y^{2} +8y+16-16+k=0$ ⇒ somar e subtrair o 4 e o 16 não altera a equação.

$(x-2)^{2} -4+ (y+4)^{2} -16+k=0$

$(x-2)^{2} + (y+4)^{2} -20+k=0$

$(x-2)^{2} + (y+4)^{2}= 20-k$

O centro da circunferência será o ponto $(2,-4)$

O valor $20-k$ deve ser o raio da circunferência ao quadrado. Portanto, não pode ser nulo, nem negativo. Logo:

$20-k>0$

$k<20$

$R^{2} =20-k$ ⇒ $R= \sqrt{20-k}$