Question

Para quantos p primos 3p + 1 é um quadrado perfeito?



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Por favor responder de forma detalhada. Respostas com brincadeiras serão eliminadas.

Answer 1

Se p é primo, e 3p + 1 é quadrado perfeito, então

3p + 1 = k²
3p = k² − 1

Fatorando o lado direito,

3p = (k − 1) · (k + 1)

para algum k natural.

Como 3 e p são ambos primos, 3p é um número natural composto completamente fatorado. Assim, só há as seguintes possibilidades:

• (1.)

k − 1 = 3
k + 1 = p

Da primeira igualdade, tiramos que

k = 3 + 1
k = 4

e temos

p = k + 1
p = 4 + 1
p = 5

Como 5 é primo, p = 5 é uma solução.

• (2.)

k + 1 = 3
k − 1 = p

Aqui, encontramos

k = 3 − 1
k = 2

e assim

p = k − 1
p = 2 − 1
p = 1

e como 1 não é primo, p = 1 não se aplica.

• (3.)

k − 1 = 1
k + 1 = 3p

e segue que

k = 1 + 1
k = 2

e assim

3p = k + 1
3p = 2 + 1
3p = 3
p = 1

e novamente, como 1 não é primo, p = 1 não se aplica.

• (4.)

k + 1 = 1
k − 1 = 3p

o que nos fornece

k = 1 − 1
k = 0

e assim

3p = k − 1
3p = 0 − 1
3p = − 1

não serve, porque − 1 não é nem natural, nem múltiplo de 3,

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Só existe um p primo, de modo que 3p + 1 é quadrado perfeito:

p = 5 <——— solução única.

Bons estudos! :-)