Question

Para quantos conjuntos (a, b,c) de 3 números naturais e verdade que a*b*c= 2360 ?

Answer 1

Antes de mais nada, vamos considerar {a, b, c} = {a, c, b}, ou seja, a ordem dos termos não interfere.

Agora, vamos fatorar o número 2360 em fatores primos.

2360 | 2
1180 | 2
590   | 2
295   | 5
59     | 59
1

Portanto, temos que:

2 * 2 * 2 * 5 * 59 = 2360

Assim, temos 5 fatores a serem organizados em 3 termos para determinar as formas possível do conjunto {a, b, c}.

Existe duas formas para grupar os 5 fatores:

1-) Podemos considerar 2 fatores separados e juntar os outros 3 em 1, veja o exemplo abaixo.

2 * 2 * 2 * 5 * 59 = 2 * 2 * (2 * 5 * 59) = 2 * 2 * 590 = 2360

Pele exemplo acima, teríamos o conjunto {2, 2, 590}. Dessa forma, temos as seguintes possibilidades.

1°)
2 * 2 * 2 * 5 * 59 = 2 * 2 * (2 * 5 * 59) = 2 * 2 * 590 ⇒ {2, 2, 590}

2°)
2 * 2 * 2 * 5 * 59 = 2 * 5 * (2 * 2 * 59) = 2 * 5 * 236 ⇒ {2, 5, 236}

3°)
2 * 2 * 2 * 5 * 59 = 2 * 59 * (2 * 2 * 5) = 2 * 59 * 20 ⇒ {2, 20, 59}

4°)
2 * 2 * 2 * 5 * 59 = 5 * 59 * (2 * 2 * 2) = 5 * 59 * 8 ⇒ {5, 8, 59}

Portanto, utilizando esse método temos 4 possibilidades de conjunto.



Outra forma de se determinar os conjuntos é, dentre os 5 fatores, juntar os 2 primeiro, manter o 3° separado e juntar os dois últimos, veja o exemplo:

2 * 2 * 2 * 5 * 59 = (2 * 2) * 2 * (5 * 59) = 4 * 2 * 295 = 2360

Dessa forma, temos as seguintes possibilidades:

1°)
2 * 2 * 2 * 5 * 59 = (2 * 2) * 2 * (5 * 59) = 4 * 2 * 295 ⇒ {2, 4, 295}

2°)
2 * 2 * 2 * 5 * 59 = (2 * 2) * 5 * (2 * 59) = 4 * 5 * 118 ⇒ {4, 5, 118}

3°)
2 * 2 * 2 * 5 * 59 = (2 * 2) * 59 * (2 * 5) = 4 * 59 * 10 ⇒ {4, 10, 59}

4°)
2 * 2 * 2 * 5 * 59 = (2 * 5) * 2 * (2 * 59) = 10 * 2 * 118 ⇒ {2, 10, 118}

5°)
2 * 2 * 2 * 5 * 59 = (2 * 5) * 59 * (2 * 2) = 10 * 59 * 4 ⇒ {4, 10, 59}

6°)
2 * 2 * 2 * 5 * 59 = (2 * 59) * 2 * (2 * 5) = 118 * 2 * 10 ⇒ {2, 10, 118}

7°)
2 * 2 * 2 * 5 * 59 = (2 * 59) * 5 * (2 * 2) = 118 * 5 * 4 ⇒ {4, 5, 118}

8°)
2 * 2 * 2 * 5 * 59 = (5 * 59) * 2 * (2 * 2) = 295 * 2 * 4 ⇒ {2, 4, 295}

Vemos que temos 8 possibilidades analisando dessa forma, porém, note que o 1° caso é igual ao 8°, o 2° é igual ao 7°, o 3° é igual ao 5° e o 4° é igual ao 6°. Portanto, temos na verdade 4 possibilidades por essa análise.



Assim, por fim verificamos que o total de possibilidades para o conjunto {a, b, c} será as 4 possibilidades do primeiro método mais as 4 possibilidades do segundo método. Portanto, temos um total de 8 possibilidades para o conjunto {a, b, c}. Segue abaixo todas as possibilidades:

{2, 2, 590}
{2, 4, 295}
{2, 5, 236}
{2, 10, 118}
{2, 20, 59}
{4, 5, 118}
{4, 10, 59}
{5, 8, 59}