Para qual valor temos o mínimo da função f(x) = -3 + 5cosx? 1 ponto -1 -5 -6 -8
ajude me por favor
Soluções para a tarefa
1) f(x)=5\cos x+3\,\mathrm{sen\,}xf(x)=5cosx+3senx
f'(x)=-5\,\mathrm{sen\,}x+3\cos xf
′
(x)=−5senx+3cosx
Os pontos críticos de ff são os valores de xx que anulam a derivada de f:f:
\begin{gathered}f'(x)=0\\ \\ \Leftrightarrow -5\,\mathrm{sen\,}x+3\cos x=0\\ \\ \Leftrightarrow 3\cos x=-5\,\mathrm{sen\,}x\\ \\ \Rightarrow\;\; 9\cos^{2}x=25\,\mathrm{sen^{2}\,}x\\ \\ \Leftrightarrow\;\; 9\cos^{2}x=25\cdot (1-\cos^{2}x)\\ \\ \Leftrightarrow\;\; 9\cos^{2}x=25-25\cos^{2}x\\ \\ \Leftrightarrow\;\; 9\cos^{2}x+25\cos^{2}x=25\\ \\ \Leftrightarrow\;\; 34\cos^{2}x=25\\ \\ \Leftrightarrow\;\; \cos^{2}x=\frac{25}{34}\\ \\ \Leftrightarrow\;\; \cos x=\pm\sqrt{\frac{25}{34}}\\ \\ \Leftrightarrow\;\; \cos x=\pm \frac{5}{\sqrt{34}}\end{gathered}
f
′
(x)=0
⇔−5senx+3cosx=0
⇔3cosx=−5senx
⇒9cos
2
x=25sen
2
x
⇔9cos
2
x=25⋅(1−cos
2
x)
⇔9cos
2
x=25−25cos
2
x
⇔9cos
2
x+25cos
2
x=25
⇔34cos
2
x=25
⇔cos
2
x=
34
25
⇔cosx=±
34
25
⇔cosx=±
34
5
Encontrando o seno dos pontos críticos, temos
\begin{gathered}\mathrm{sen\,}^{2}x=1-\cos^{2}x\\ \\ \mathrm{sen\,}^{2}x=1-\frac{25}{34}\\ \\ \mathrm{sen\,}^{2}x=\frac{34-25}{34}\\ \\ \mathrm{sen\,}^{2}x=\frac{9}{34}\\ \\ \mathrm{sen\,} x=\pm \sqrt{\frac{9}{34}}\\ \\ \mathrm{sen\,} x=\pm \frac{3}{\sqrt{34}}\end{gathered}
sen
2
x=1−cos
2
x
sen
2
x=1−
34
25
sen
2
x=
34
34−25
sen
2
x=
34
9
senx=±
34
9
senx=±
34
3
Temos duas possibilidades para os valores do seno e do cosseno anulem a derivada de f:f:
\begin{gathered}\bullet\;\; \mathrm{sen\,} x=\frac{3}{\sqrt{34}},\;\;\cos x=\frac{5}{\sqrt{34}}\\ \\ \bullet\;\; \mathrm{sen\,} x=-\frac{3}{\sqrt{34}},\;\;\cos x=-\frac{5}{\sqrt{34}}\end{gathered}
∙senx=
34
3
,cosx=
34
5
∙senx=−
34
3
,cosx=−
34
5
A única opção que torna ff máxima é quando o seno e o cosseno são ambos positivos:
\bullet\;\; \mathrm{sen\,} x=\frac{3}{\sqrt{34}},\;\;\cos x=\frac{5}{\sqrt{34}}∙senx=
34
3
,cosx=
34
5
O valor máximo de ff é
\begin{gathered}f_{\max}=5\cdot \frac{5}{\sqrt{34}}+3\cdot \frac{3}{\sqrt{34}}\\ \\ f_{\max}=\frac{25}{\sqrt{34}}+\frac{9}{\sqrt{34}}\\ \\ f_{\max}=\frac{34}{\sqrt{34}}\\ \\ f_{\max}=\sqrt{34}\end{gathered}
f
max
=5⋅
34
5
+3⋅
34
3
f
max
=
34
25
+
34
9
f
max
=
34
34
f
max
=
34