Question

Para qual valor de  a  o sistema


4x + ay = -1 + a
(6-a) x + 2y = 3 - a 

 possui infinitas soluções

Answer 1

Para que esse sistema não tenha solução única, deixando-o com infinitas soluções ou um sistema impossível, é necessário que:

$det \left[\begin{array}{cc}4&a\\6-a&2\\\end{array}\right] =0$

(essa condição é meio esquisita, mas tem a ver com a Regra de Cramer ;D )

Resolvendo aquele determinante temos que:

8 - a(6-a) = 0 => a² - 6a + 8 = 0
$\Delta = (-6)^{2} -4.8 => \Delta = 4$
$a= \frac{6+/-\sqrt{4}}{2} = \frac{6+/-2}{2}$ => $a=4$ ou $a=2$

Agora vamos substituir esses valores no sistema. Aquele determinante ser 0 garante que não existe solução única. Um desses valores pode gerar um sistema sem solução alguma. Vamos lá!

I) a=2
$\left \{ {{4x+2y=-1+2} \atop {4x+2y=3-2}} \right. => \left \{ {{4x+2y=1} \atop {4x+2y=1}} \right$
Pelas duas equações serem iguais, esse sistema pode ser reescrito com apenas uma equação a duas variáveis, logo ele tem infinitas soluções :D

II) a=4
$\left \{ {{4x+4y=-1+4} \atop {2x+2y=3-4}} \right. => \left \{ {{4x+4y=3} \atop {2x+2y=-1}} \right.$
A primeira equação pode ser reescrita como 2(2x+2y) que, usando a segunda equação, fica igual a -2, mas $-2 \neq 3$. Por causa disso esse sistema não tem solução. X____X

R: apenas o valor a=2