Question

Para quaisquer dois números reais x e y, definimos: x#y=$\frac{(x+y)^{2}}{2}$ e xΔy=$x^{2} + y^{2}$. Se xΔy-x#y=$\sqrt{64^{-1}$ e x>y, então x-y é igual a (A)$\frac{1}{2}$ (B)$\frac{1}{4}$ (C)$\frac{1}{6}$ (D)$\frac{1}{8}$ (E)$\frac{1}{16}$

Answer 1

O exercício já nos forneceu quem é:

x#y = $\frac{(x+y)^{2}}{2}$

xΔy = $x^{2}+y^{2}$

Agora vamos substituir na expressão dada:

xΔy - x#y =  $\sqrt{64^{-1}}$

$x^{2}+y^{2} - \frac{(x+y)^{2}}{2} = \sqrt{64^{-1}} \\ \\ x^{2}+y^{2} - \frac{(x^{2}+2xy+y^{2})}{2} = \sqrt{ \frac{1}{64} } \\ \\ x^{2}+y^{2} - \frac{(x^{2}+2xy+y^{2})}{2} = \frac{1}{8} \\ \\ (x^{2}+y^{2} - \frac{(x^{2}+2xy+y^{2})}{2} = \frac{1}{8}) . (2)\\ \\ 2x^{2}+2y^{2} - 2.\frac{(x^{2}+2xy+y^{2})}{2} = 2.\frac{1}{8}\\ \\ 2x^{2}+2y^{2} - (x^{2}+2xy+y^{2}) = \frac{1}{4}\\ \\ 2x^{2}+2y^{2} - x^{2}-2xy-y^{2} = \frac{1}{4}$
$2x^{2}+2y^{2} - x^{2}-2xy-y^{2} = \frac{1}{4}\\ \\ 2x^{2}- x^{2}+2y^{2}-y^{2}-2xy = \frac{1}{4}\\ \\ x^{2} + y^{2}-2xy = \frac{1}{4}\\ \\ x^{2}-2xy + y^{2} = \frac{1}{4}\\ \\ (x-y)^{2} = \frac{1}{4} \\ \\ x-y = \sqrt{ \frac{1}{4}} \\ \\ x-y=\frac{1}{2}$

Alternativa A