Question

Para quais valores reais de m a equação cos x = 2m + 5 tem solução?

Answer 1

Resposta:

$m=\frac{\cos(x)-5}{2}$

Explicação passo-a-passo:

$\cos ( x ) =2m+5 \\ 2m+5=\cos(x) \\ 2m=\cos(x)-5 \\ \frac{2m}{2}=\frac{\cos(x)-5}{2} \\ m=\frac{\cos(x)-5}{2}$

Answer 2

O cosseno é uma função periódica que tem seu valor variando entre -1 e 1, seus pontos de mínimo e máximo, como é mostrado no desenho anexado à resolução.

$\boxed{\sf -1~\le~cos(x)~\le~1}$

Vamos então resolver a inequação composta acima para determinarmos os valores de "m" para os quais a equação dada tenha uma raiz.

Dividindo a inequação composta em duas simples, temos:

$\sf -1~\le~cos(x)~\le~1~~~\Rightarrow~~\begin{cases}\sf -1~\le~cos(x)\\\sf cos(x)~\le~1\end{cases}$

Substituindo cos(x) nas inequações acima por sua equivalência ("2m+5"):

$\begin{array}{cc|cc}\sf -1~\le~cos(x)&&&\sf cos(x)~\le~1\\&&&\\\sf -1~\le~2m+5&&&\sf 2m+5~\le~1\\&&&\\\sf -4-5~\le~2m&&&\sf 2m~\le~1-5\\&&&\\\boxed{\sf \dfrac{-9}{2}~\le~m}&&&\sf m~\le~\dfrac{-4}{2}\\&&&\\&&&\boxed{\sf m~\le\,-2}\end{array}$

Portanto, "m" pode assumir qualquer valor Real no intervalo [⁻⁹/₂ , -2] ou, se preferir.

Resposta:  { m ∈ ℝ | ⁻⁹/₂ ≤ m ≤ -2 }

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$