Question

Para quais valores reais de a os vetores

v1=(a,-1,-1), v2=(-1,a,-1) e v3=(-1,-1,a)

formam um conjunto linearmente dependente em R^3

Answer 1

Caso tiver problemas para visualizar a resposta pelo aplicativo, experimente abrir pelo navegador: https://brainly.com.br/tarefa/7991151

_____________


Para que os vetores

$\overrightarrow{\mathsf{v}_1}=\mathsf{(a,\,-1,\,-1)};\\\\ \overrightarrow{\mathsf{v}_2}=\mathsf{(-1,\,a,\,-1)};\\\\ \overrightarrow{\mathsf{v}_3}=\mathsf{(-1,\,-1,\,a)}$


sejam linearmente dependentes em $\mathbb{R}^3,$ o determinante
a seguir deve ser nulo:

$\mathsf{det}\begin{bmatrix}\overrightarrow{\mathsf{v}_1}\\\\ \overrightarrow{\mathsf{v}_2}\\\\ \overrightarrow{\mathsf{v}_3} \end{bmatrix}={\mathsf{0}}\\\\\\\\ \mathsf{det}\!\begin{bmatrix}\mathsf{a}&\mathsf{-1}&\mathsf{-1}\\ \mathsf{-1}&\mathsf{a}&\mathsf{-1}\\ \mathsf{-1}&\mathsf{-1}&\mathsf{a}\\ \end{bmatrix}={\mathsf{0}}$


Calculando pela Regra de Sarrus:

$\mathsf{det}\!\begin{bmatrix}\mathsf{a}&\mathsf{-1}&\mathsf{-1}\\ \mathsf{-1}&\mathsf{a}&\mathsf{-1}\\ \mathsf{-1}&\mathsf{-1}&\mathsf{a}\\ \end{bmatrix}\\\\\\ \begin{array}{rr} =&\mathsf{a\cdot a\cdot a+(-1)\cdot (-1)\cdot (-1)+(-1)\cdot (-1)\cdot (-1)}\\ &\mathsf{-(-1)\cdot a\cdot (-1)-(-1)\cdot (-1)\cdot a-a\cdot (-1)\cdot (-1)} \end{array}\\\\\\ \begin{array}{rr} =&\mathsf{a^3-1-1}\\ &\mathsf{-a-a-a} \end{array}$

$=\mathsf{a^3-3a-2}\qquad\quad\checkmark$


Pesquisando as raízes racionais, vemos que

$\mathsf{a=-1}$ é uma raiz para o polinômio obtido.


Logo, este polinômio é divisível por $\mathsf{(a+1)}:$

$\mathsf{a^3-3a+2}\\\\ =\mathsf{a^3+a-a-3a+2}\\\\ =\mathsf{a^3+a-4a+2}\\\\ =\mathsf{a(a^2+1)-2(a+1)}\\\\ =\mathsf{a(a-1)(a+1)-2(a+1)}\qquad\textsf{(produtos not\'aveis)}$

$=\mathsf{(a+1)\cdot a(a-1)-(a+1)\cdot 2}\\\\ =\mathsf{(a+1)\cdot \big[a(a-1)-2\big]}\\\\ =\mathsf{(a+1)\cdot (a^2-a-2)}$


Podemos continuar fatorando o fator quadrático acima. Veja:

$=\mathsf{(a+1)\cdot (a^2-a-a+a-2)}\\\\ =\mathsf{(a-1)\cdot (a^2-2a+a-2)}\\\\ =\mathsf{(a-1)\cdot \big[a(a-2)+1(a-2)\big]}\\\\ =\mathsf{(a+1)\cdot (a-2)\cdot (a+1)}\\\\ =\mathsf{(a+1)^2\cdot (a-2)}\qquad\quad\checkmark$


Logo, para que o determinante seja zero, devemos ter

$\mathsf{(a+1)^2\cdot (a-2)=0}\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{(a+1)^2=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{a-2=0}\\\\ \mathsf{a+1=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{a-2=0}\\\\ \end{array}\\\\ ~~~~~\boxed{\begin{array}{c}\begin{array}{rcl} \mathsf{a=-1}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{a=2} \end{array} \end{array}}\qquad\quad\checkmark$

Estes são os valores de $\mathsf{a}$ procurados.


Bons estudos! :-)