Question

Para quais valores inteiros de x, a expressão abaixo é divisível por 13?


$\large\begin{array}\mathsf{\mathsf{3x^2 - 4x + 7}}\end{array}$


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Por favor responder de forma detalhada. Respostas com brincadeiras serão eliminadas.

Answer 1

Olá.

Temos a equação:
$\boxed{\mathsf{3x^{2}-4x+7}}$

Após muitos testes, foi-se observado que os casos que satisfazem esse enunciado crescem aritmeticamente como P.As de razão 13.

São elas:
P.A' = {4, 17, 30, 43, 56, ... }
P.A'' = {6, 19, 32, 45, 58, ... }

Vou testar em 2 casos diferentes em cada P.A.

P.A'
$\mathsf{3(4)^{2}-4(4)+7=}\\\\ \mathsf{3(16)-16+7=}\\\\ \mathsf{48-16+7=}\\\\ \mathsf{48-9=}\\\\ \mathsf{39}$

Dividimos:
$\mathsf{\dfrac{39}{13}=}\\\\\mathsf{3}$

Satisfaz o enunciado.

$\mathsf{3(43)^{2}-4(43)+7=}\\\\ \mathsf{3(1.849)-172+7=}\\\\ \mathsf{5.547-172+7=}\\\\ \mathsf{5.547-165=}\\\\ \mathsf{5.382}$

Dividimos:
$\mathsf{\dfrac{5.382}{13}=}\\\\\mathsf{414}$

Satisfaz o enunciado.



P.A''
$\mathsf{3(6)^{2}-4(6)+7}\\\\ \mathsf{3(36)-24+7}\\\\ \mathsf{108-24+7}\\\\ \mathsf{108-17}\\\\ \mathsf{91}$

Dividimos:
$\mathsf{\dfrac{91}{13}=}\\\\\mathsf{7}$

Satisfaz o enunciado.

$\mathsf{3(58)^{2}-4(58)+7=}\\\\ \mathsf{3(3.364)-232+7=}\\\\ \mathsf{10.092-232+7=}\\\\ \mathsf{10.092-225=}\\\\ \mathsf{9.867}$

Dividimos:
$\mathsf{\dfrac{9.867}{13}=}\\\\\mathsf{759}$

Satisfaz o enunciado.

Para comprovar definitivamente, usarei o P.I.F., em uma P.A de cada vez.

P.A''.

Usaremos:

P.A' = {4, 17, 30, 43, 56, ... }

Vamos primeiro descobrir o termo geral.
$\mathsf{a_n=a_1+(n-1)\cdot r}\\\\ \mathsf{a_n=4+(n-1)\cdot13}\\\\ \mathsf{a_n=4+13n-13}\\\\ \mathsf{a_n=13n-13+4}\\\\ \boxed{\mathsf{a_n=13n-9}}$

Temos agora um "valor geral" para x:
x = 13n - 9

Todo e qualquer número que é divisível por 13, em sua composição, multiplica o número 13.

Logo, temos:
$\mathsf{P(n)=4,~17,~30,~43,~...~,~3(13n-9)^2-4(13n-9)+7 = 13m~:~n\in\mathbb{Z}}$

Assumindo como verdade, temos k = n.
$\mathsf{P(k)=3(13k-9)^2-4(13k-9)+7=13m}$

Testemos em k + 1.
$\mathsf{P(k+1)=3[13(k+1)-9]^2-4(13(k+1)-9)+7=13m}\\\\ \mathsf{P(k+1)=3[13(k+1)-9]^2-4(13(k+1)-9)+7 = 13m}\\\\ \mathsf{P(k+1)=3[13k+13-9]^2-4(13k+13-9)+7 = 13m}\\\\ \mathsf{P(k+1)=3(13k+4)^2-4(13k+4)+7 = 13m}\\\\ \mathsf{P(k+1)=3(169k^2+104k+16)-52k-16+7 = 13m}\\\\ \mathsf{P(k+1)=507k^2+312k+48-52k-16+7 = 13m}\\\\ \mathsf{P(k+1)=507k^2+312k-52k+48-16+7 = 13m}\\\\ \mathsf{P(k+1)=507k^2+260k+39 = 13m}\\\\ \mathsf{P(k+1)=13\cdot(39k^2+20k+3) = 13m}$

Temos que:
x = 13n - 9 é verdadeiro.

Portanto, todos valores de x nesse formato, 13n - 9, é solução para o problema.



P.A''.

Usaremos:

P.A'' = {6, 19, 32, 45, 58, ... }

Vamos primeiro descobrir o termo geral.
$\mathsf{a_n=a_1+(n-1)\cdot r}\\\\ \mathsf{a_n=6+(n-1)\cdot13}\\\\ \mathsf{a_n=6+13n-13}\\\\ \mathsf{a_n=13n+6-13}\\\\ \mathsf{a_n=13n-7}$

Temos agora um outro "valor geral" para x:
x=13n-7

Usando o mesmo método, teremos:
$\mathsf{P(n)=6,~19,~32,~45,~...~,~3(13n-7)^2-4(13n-7)+7 = 13m~:~n\in\mathbb{Z}}$

Assumindo como verdade, temos k = n.
$\mathsf{P(k)=3(13k-7)^2-4(13k-7)+7 = 13m}$

Testemos com k + 1.
$\mathsf{P(k+1)=3(13(k+1)-7)^2-4(13(k+1)-7)+7 = 13m}\\\\ \mathsf{P(k+1)=3(13k+13-7)^2-4(13k+13-7)+7 = 13m}\\\\ \mathsf{P(k+1)=3(13k+6)^2-4(13k+6)+7 = 13m}\\\\ \mathsf{P(k+1)=3(169k^2+156k+36)-52k-24+7 = 13m}\\\\ \mathsf{P(k+1)=507k^2+468k+108-52k-24+7 = 13m}\\\\ \mathsf{P(k+1)=507k^2+468k-52k+108-24+7 = 13m}\\\\ \mathsf{P(k+1)=507k^2+416k+91 = 13m}\\\\ \mathsf{P(k+1)= 13\cdot(39k^2+32k+7) = 13m}$

Temos que:
x = 13n - 7 é verdadeiro.

Portanto, todos os valores de x nesse formato, 13n - 7, é solução para o problema.


Testado e comprovado. $\checkmark$


Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.

Answer 2

os números negativos, que também estão incluídos na "regra" que citei.

Como citei, além das "lógicas" não consigo provar.