Para quais valores de x pertencente aos reais o logaritmo de (menos x ao quadrado menos 3x mais 4) na base 10 existe?
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Victoria, que a resolução é mais ou menos simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se: para que valores reais de "x" a expressão logarítmica abaixo existe? A expressão é esta que vamos chamá-la de um certo "y" apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:
y = log₁₀ (-x² - 3x + 4)
ii) Veja: só há logaritmos de números positivos (>0). Então, inicialmente deveremos impor que o logaritmando deverá ser positivo (>0). Assim, a condição de existência da expressão acima será esta:
-x² - 3x + 4 > 0 ------ para saber se esta expressão existe, vamos primeiro encontrar suas raízes. Assim, se você aplicar Bháskara encontrará que as raízes da expressão acima serão estas:
x' = - 4; e x'' = 1 <---- Estas são as raízes da equação acima.
iii) Agora veja: vamos estudar a variação de sinais desta equação em função de suas raízes e vamos ver onde é que ela é positiva (>0). Assim, teremos:
-x² - 3x + 4 > 0 .... - - - - - - - - - - (-4) + + + + + + + + + (1) - - - - - - - - - - - - -
Veja: pelo gráfico acima você já nota que a expressão dada será positiva entre as raízes, ou seja, ela será positiva no intervalo aberto abaixo:
-4 < x < 1 ----- Esta é a resposta. Ou seja, a expressão logarítmica da sua questão só existirá (condição de existência) se os valores de "x" (domínio) estiverem no intervalo aberto dado acima.
Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução de outras formas, que poderão ser estas e que são equivalentes à que demos aí em cima:
S = {x ∈ R | - 4 < x < 1}.
ou
S = ] -4; 1 [ ou S = (-4; 1), que são equivalentes para intervalos abertos.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
Ok?
Adjemir.