Question

Para quais valores de x a igualdade é verdadeira?
$x^4+256x+1024=0$

Answer 1

Essa equação não possui raízes reais. Uma maneira de ver isso é escrever o polinômio p(x) = x⁴ + 256x + 1024 como soma de quadrados. Podemos por exemplo somar e subtrair kx² para k conveniente

p(x) = x⁴- kx² + kx² + 256x + 1024

E daí escrever

p(x) = (x²-A)² + k(x+B)² + C

Precisamos apenas escolher k convenientemente para que C seja não negativo. Para k = 50 por exemplo, temos:

p(x) = x⁴ -50x² + 50x² + 256x+1024

p(x) = (x⁴ -50x² +25²) + 50(x²+ 128x/25 + 64²/25²) + 1024 - 25² - 50*64²/25²

p(x) = (x² - 25)² + 50(x+ 64/25)² + 1024 - 625 - 2¹³/25

Observamos que C = 71,32 > 0

Assim, p(x) é a soma de dois quadrados com um número positivo. Logo, p(x) > 0 para todo x e portanto p não possui raízes reais.

Para as raízes complexas, existe uma fórmula semelhante a formula de cardano para equação do terceiro grau, mas ela é grande. (pode ver na imagem as raízes)