Question

para quais valores de r a sequencia nr^(n) é convergente?

Answer 1

Boa tarde.

Para responder a pergunta, precisamos utilizar o conceito de teste de razão para convergência absoluta.

A formula matemática para este teste é a seguinte:

$\rho = \lim_{n \to +\infty} |\frac{f(r) _{n+1} }{f(r)}|$

O conceito diz que para "ρ" menor que um (ρ<1), a sequencia é convergente. Aplicando a formula para o caso:

$\rho = \lim_{n \to +\infty} |\frac{(n+1)r ^{(n+1)} }{nr^n}|$

Agora vamos simplificar um pouco os termos dentro do limite:

$\rho = \lim_{n \to +\infty} |\frac{(n+1)r ^{n}r }{nr^n}|$

$\rho = \lim_{n \to +\infty} |\frac{nr ^{n}r+r^nr }{nr^n}|$

$\rho = \lim_{n \to +\infty} |\frac{nr+r }{n}|$

$\rho = \lim_{n \to +\infty} |r+\frac{r }{n}|$

Para o limite de n, o "r" isolado é uma constante e pode sair do termo:

$\rho = |r|+\lim_{n \to +\infty} |\frac{r }{n}|$

Quando "n" tende ao infinito, o termo "r/n" tende a zero. Portanto:

$\rho=|r|$

Como o conceito nos diz que a sequencia será convergente para ρ<1:

$|r|\ \textless \ 1$

Para retirarmos o módulo, consideraremos os dois possíveis sinais de um:

$-1\ \textless \ r\ \textless \ 1$

Portanto a série será convergente para valores de "r" entre menos um e mais um.