Question

Para quais valores de λ o conjunto de vetores {(3,1,0),(λ2+2,2,0),(1,−1,1)} é linearmente dependente.

Escolha uma opção:
a. Todo λ∈R.
b. λ≠2 e λ≠−2.
c. λ=1 e λ=−1.
d. λ=2 e λ=−2.

Answer 1

Após calcularmos o determinante da matriz dos vetores, temos que para lambda igual a -2 e 2 o conjunto dos vetores $\large\displaystyle\begin{gathered}\tt \left\{ \left(3,1,0\right),\left(\lambda^2+2,2,0\right),\left(1,-1,1\right)\right\}\end{gathered}$ é linearmente dependente. Alternativa D).

Desejamos descobrir para quais valores de $\large\displaystyle\begin{gathered}\tt \lambda \end{gathered}$ o conjunto dos vetores $\large\displaystyle\begin{gathered}\tt \left\{ \left(3,1,0\right),\left(\lambda^2+2,2,0\right),\left(1,-1,1\right)\right\}\end{gathered}$ é linearmente dependente.

Para resolver é bem simples, iremos colocar os vetores na forma matricial e se o determinante dessa matriz for $\large\displaystyle\begin{gathered}\tt \neq0\end{gathered}$ então o conjunto dos vetores é linearmente independente, e se o det for $\large\displaystyle\begin{gathered}\tt = 0\end{gathered}$ então o conjunto dos vetores é linearmente dependente. Sabendo disso, temos que:

  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \left|\begin{array}{ccc}\tt 3&\tt 1&\tt 0\\\tt \lambda^2+2&\tt 2&\tt 0\\\tt 1&\tt -1&\tt1\end{array}\right| =0\implies L.D \end{gathered}$

Vamos então calcular esse determinante, e para isso irei utilizar a Regra de Sarrus.

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \left|\begin{array}{ccc}\tt 3&\tt 1&\tt 0\\\tt \lambda^2+2&\tt 2&\tt 0\\\tt 1&\tt -1&\tt1\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}\tt 3&\tt 1\\\tt \lambda^2+2&\tt 2\\\tt 1&\tt -1\end{array}\right| =0 \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt 0+0+\lambda^2+2-\left(6+0+0\right) =0 \end{gathered}$

• Com isso, temos que:

 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \lambda^2-4 =0 \end{gathered}$

 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \lambda^2=4 \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \boxed{\tt \lambda=2}\ \ \wedge\ \ \boxed{\tt \lambda =-2}\end{gathered}$

Portanto, o conjunto de vetores $\large\displaystyle\begin{gathered}\tt \left\{ \left(3,1,0\right),\left(\lambda^2+2,2,0\right),\left(1,-1,1\right)\right\}\end{gathered}$ é L.D para lambda igual a 2 e -2.

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