Question

Para quais valores de n a reta s : 4x − 3y + n = 0 é secante à circunferência dada pela equação x^2+y^2+6x−8y−11=0?

Answer 1

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo a passo:

$\mathsf{x^2 + y^2 + 6x - 8y -11 = 0}$

$\mathsf{x^2 + 6x + y^2 - 8y -11 = 0}$

$\mathsf{x^2 + 6x + 9 - 9 + y^2 - 8y + 16 - 16 -11 = 0}$

$\mathsf{(x^2 + 6x + 9) - 9 + (y^2 - 8y + 16) - 16 -11 = 0}$

$\mathsf{(x + 3)^2 - 9 + (y - 4)^2 - 16 -11 = 0}$

$\mathsf{(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 36}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 6^2}}}\leftarrow\textsf{equa{\c c}{\~a}o reduzida da circunfer{\^e}ncia}$

$\mathsf{4x - 3y + n = 0}$

$\mathsf{d_{c,r} = |\:\dfrac{a.x_0 + b_x_0 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}\:|}$

$\mathsf{|\:\dfrac{(4).(-3) + (-3).(4) + n}{\sqrt{(4)^2 + (-3)^2}}\:| < 6}$

$\mathsf{|\:\dfrac{-12 - 12 + n}{\sqrt{16 + 9}}\:| < 6}$

$\mathsf{|\:\dfrac{n - 24}{\sqrt{25}}\:| < 6}$

$\mathsf{|\:\dfrac{n - 24}{5}\:| < 6}$

$\mathsf{|\:n - 24\:| < 30}$

$\mathsf{n - 24 < 30}$

$\mathsf{n < 54}$

$\mathsf{|\:n - 24\:| > -30}$

$\mathsf{n - 24 > -30}$

$\mathsf{n > -6}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{S = \left\{\:n \in \mathbb{R}~|~-6 < n < 54\right \:\}}}}$

Answer 2

s : 4x − 3y + n = 0

x^2+y^2+6x−8y−11=0

x²+6x+3²-3² +y²-8y+4²-4²-11=0

(x+3)²+(y²-4)²-9-16-11=0

(x+3)²+(y²-4)²= 36  

Centro=(-3,4)  e raio = 6

distância entre centro e reta

d=|4*(-3)-3*4+n|/√[4²+(-3)²] < 6

d = | -12-12+n|/5 <6

|n-24| <  30

Se n-24 >=0  ==> n-24 <30  ==> n < 54

Se n-24 <0 ==>-(n-24)<30 ==>n-24> -30 ==>n >-6

-6 <  n < 54   ou   n ∈  (-6,54) é a resposta