Question

Para quais valores de m e k temos que $(x + k)^{2} - (x - m)^{2} = -2x + 3$?

Answer 1

Para resolver esse exercício vamos ter que mudar a forma de escrever os quadrados de forma que o resultado de cada um deles fique aparente. Vamos lá:

$\mathsf{(x+k)^{2}-(x-m)^{2}=-2x+3}$



Para resolver esses quadrados perfeitos basta lembrar que o resultado vai ser: "O quadrado do primeiro, duas vezes o primeiro vezes o segundo e o quadrado do segundo termo".

$\mathsf{x^{2}+2xk+k^{2}-(x^{2}-2xm+m^{2})=-2x+3}$

$\mathsf{\diagup\!\!\!x^{2}+2xk+k^{2}-\diagup\!\!\!x^{2}+2xm-m^{2}=-2x+3}$

$\mathsf{2xk+k^{2}+2xm-m^{2}=-2x+3}$



Organizando de uma forma melhor:

$\mathsf{2xk+2xm+k^{2}-m^{2}=-2x+3}$



Podemos colocar o "2x" em evidência

$\mathsf{2x\cdot (k+m)+k^{2}-m^{2}=-2x+3}$



Agora veja que "k² - m²" é o que chamamos de quadrado da diferença. Veja que ele não tem aquele termo do meio multiplicado por dois. Vamos reescrever da seguinte forma:

$\mathsf{2x\cdot (k+m)+(k-m)\cdot (k+m)=-2x+3}$



Agora veja que é possível colocar o "k + m" em evidência porque ele multiplica os dois termos do lado esquerdo da igualdade

$\mathsf{(k+m)\cdot (2x+k-m)=-2x+3}$



Podemos ainda ter o +2x como termo que está dos dois lados da igualdade de colocarmos o "-1" em evidência do lado direito da igualdade

$\mathsf{(k+m)\cdot (2x+k-m)=-1\cdot(2x-3)}$

__________


Agora perceba que para esses produtos serem iguais temos que ter:

$\left\{ \begin{array}{l} k+m=-1\\ \\ k-m=-3 \end{array} \right.$


Somando as duas equações vamos ter

$\mathsf{2k=-4}$

$\mathsf{k=-2}$


Substituindo o valor de k na primeira

$\mathsf{k+m=-1}$

$\mathsf{-2+m=-1}$

$\mathsf{m=2-1}$

$\mathsf{m=1}$


Portanto

$\mathsf{S=\{-2,1\}}$


Bons estudos! :)