Question

Para quais valores de k a reta y = x + k é tangente à circunferência
x*2+y*2= 4?

Answer 1

Vamos lá,
é tangente se a intersecção da reta com a circunferência apresentar apenas um ponto de intersecção
Assim,temos:
x²+(x+k)²=4
x²+x²+2kx+k²=4
2x²+2kx+(k²-4)=0
Como temos apenas um ponto de intersecção,delta=0
4k²-4.(2).(k²-4)=0
4k²-8k²+32=0
-4k²+32=0 --> 4k²=32 -->k²=32/4 --> k²=8 ---> k=+-√8
Assim,
k=√8 ou k=-√8
se quiser simplificar os radicais,a resposta fica:
k=2√2 ou k=-2√2

Answer 2

Outra forma de resolver é usando a fórmula

$D=\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

a distância para essa reta ser tangente é necessariamente o raio da circunferência, como a equação da circunferência é dada por

$(x-k)^2+(y-h)^2=r^2$

tentão

$r=2=D$

Agora vamos passar a equação da reta reduzida para equação da reta geral

$y=x+k$

$x-y+k=0$

agora é só trocar na equação

$D=\frac{|x-y+k|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Agora sabemos que

$a=1~~e~~b=-1$

por analogia

$D=\frac{|x-y+k|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}$

$D=\frac{|x-y+k|}{\sqrt{2}}$

Agora sabemos que a distância D vale 2 em qualquer pondo, desde que o ponto seja o ponto central da circunferência, nesse caso o ponto central da circunferência é (0,0)

então substituindo (0,0) em (x,y)

$2=\frac{|0-0+k|}{\sqrt{2}}$

Para tirar o módulo é só falar que o 2 é mais ou menos

$\boxed{\boxed{k=\pm2\sqrt{2}~que~\'e~o~mesmo~~k_1=2\sqrt{2}~~e~~k_2=-2\sqrt{2}}}$