Question

para quais valores de k a função f (x) = x2 + (k - 6)x + 4 apresenta duas raízes reais e iguais?

Answer 1

⇒ Aplicando nossos conhecimentos sobre Função e Equação do Segundo Grau, concluímos que a função dada apresentará raízes iguais se k = 2 ou k = 10.

☞ Equação do segundo grau ⇒ f(x) = ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0.

☞ As raízes são $\large{\text{ \alpha =\frac{-b+\sqrt{b^{2} -4ac}}{2a} }}$   e   $\large{\text{ \beta =\frac{-b-\sqrt{b^{2} -4ac}}{2a} }}$.

☞ As raízes são iguais se, e somente se, b² - 4ac = 0.

➜ Na sua questão, temos a = 1, b = k - 6  e  c = 4. Então:

$\large{ \begin{array}{l}b^{2} -4ac=0\\\\\Longrightarrow ( k-6)^{2} -4\cdotp 1\cdotp 4=0\\\\\Longrightarrow k^{2} -12k+36-16=0\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left[ \because ( a-b)^{2} =a^{2} -2ab+b^{2}\right]\\\\\Longrightarrow k^{2} -12k+20=0\end{array}}$

➜ Agora temos que outra equação do segundo grau com a = 1, b = -12  e  c = 20. As raízes são:

$\large{\text{ \begin{array}{l}\alpha =\frac{-b+\sqrt{b^{2} -4ac}}{2a} =\frac{12+\sqrt{( -12)^{2} -4\cdotp 1\cdotp 20}}{2\cdotp 1}\\\\=\frac{12+\sqrt{64}}{2} =\underline{\underline{10}}\end{array} }}$

e

$\large{\text{ \begin{array}{l}\beta =\frac{-b-\sqrt{b^{2} -4ac}}{2a} =\frac{12-\sqrt{( -12)^{2} -4\cdotp 1\cdotp 20}}{2\cdotp 1}\\\\=\frac{12-\sqrt{64}}{2} =\underline{\underline{2}}\end{array} }}$

∴   A função dada terá duas raízes iguais para k = 2 e k = 10___ ✍️

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