Question

Para quais valores de a, b e c a matriz abaixo é igual a sua transposta?
$\left[\begin{array}{ccc}2&a-2b+2c&2a+b+c\\3&5&a+c\\0&-2&7\end{array}\right]$
 
Escolha uma:
a. a = 11, b = -9 e c = -13;
b. a = 4, b = 0 e c = 4;
c. a = 2, b = 0 e c = -2;
d. a = -11, b = 9 e c= 13;
e. São infinitas possibilidades
Valendo 20 pontos :)

Answer 1

Dada uma matriz, encontramos sua transposta trocando as linhas por colunas (a primeira linha vira a primeira coluna, a segunda linha vira a segunda coluna, e assim sucessivamente)

Então, dada a matriz abaixo

$A=\left[\begin{array}{ccc}2&a-2b+2c&2a+b+c\\3&\,\,\,\,\,5&a+c\\0&-2&7\end{array}\right]$

Temos a transposta dada por

$A^{T}=\left[\begin{array}{ccc}2&3&\,\,\,\,0\\a-2b+2c&5&-2\\2a+b+c&a+c&\,\,\,\,7\end{array}\right]$

Logo, para $A=A^{T}$, devemos ter

$\left[\begin{array}{ccc}2&a-2b+2c&2a+b+c\\3&\,\,\,\,\,5&a+c\\0&-2&7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2&3&\,\,\,\,0\\a-2b+2c&5&-2\\2a+b+c&a+c&\,\,\,\,7\end{array}\right]$

Duas matrizes são iguais se e só se seus elementos correspondentes forem iguais, isto é

$A_{m\times n}=B_{m\tines n}~~\Leftrightarrow~~a_{ij}=b_{ij}~~\mathsf{para~todo~1\le i\le m~~e~~1\le j\le n}$

Portanto, temos as seguintes igualdades, para satisfazer $A=A^{T}$:

$\begin{cases}a-2b+2c=3\\2a+b+c=0\\a+c=-2\end{cases}$

(além dos elementos da diagonal principal, que são claramente iguais)

Esse é um sistema com três equações e três incógnitas, e existem várias formas de resolvê-lo

Vamos substituir $c=-2-a$ (vindo da terceira equação) nas duas primeiras equações:

$a-2b+2c=3\\\\a-2b+2(-2-a)=3\\\\a-2b-4-2a=3\\\\a-2a-2b=3+4\\\\-a-2b=7\\\\-(a+2b)=7\\\\\boxed{\boxed{a+2b=-7}}$

Substituindo na segunda:

$2a+b+c=0\\\\2a+b+(-2-a)=0\\\\2a-a+b-2=0\\\\\boxed{\boxed{a+b=2}}$

Logo, $a$ e $b$ satisfazem o sistema abaixo:

$\begin{cases}a+2b=-7\\a+b=2\end{cases}$

Subtraindo uma da outra:

$(a+2b)-(a+b)=-7-2\\\\a-a+2b-b=-9\\\\\boxed{\boxed{b=-9}}$

Substituindo $b=-9$ na segunda equação:

$a+b=2\\\\a+(-9)=2\\\\a=2+9\\\\\boxed{\boxed{a=11}}$

E, como $c=-2-a$, podemos fazer $a=11$ e encontrar

$c=-2-a\\\\c=-2-11\\\\\boxed{\boxed{c=-13}}$

Esses são os valores de a, b e c para que a matriz $A$ seja igual a sua transposta.

Portanto, a resposta é a letra A