Question

Para quais valores de a as retas de equações 3ax – 6y = 5 e 3x – (a – 5) y = 7 são paralelas?
a) -1 ou 6 b) 1 ou -6 c) -1 ou -6 d) 1 ou 6 e) n.r.a.


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Answer 1

As retas de equações 3ax – 6y = 5 e 3x – (a – 5) y = 7  são paralelas para os valores de a iguais a -1 ou 6.

Explicação passo a passo:

Sejam r e s duas retas cujas equações, na forma reduzida, são:

$\mathsf{r:~y=m_{r}x+n_{r}}\\\\\mathsf{s:~y=m_{s}x+n_{s}}$

Nessas equações, temos:

• $\mathsf{m_{r}}$ e $\mathsf{m_{s}}$ são os coeficientes angulares;
• $\mathsf{n_{r}}$ e $\mathsf{n_{s}}$ são os coeficientes lineares.

As retas r e s serão paralelas se $\mathsf{m_{r}=m_{s}}$, ou seja, quando seus coeficientes angulares forem iguais.

Desse modo, dadas as equações 3ax – 6y = 5 e 3x – (a – 5) y = 7, para descobrirmos para quais valores de a tais retas são paralelas, vamos inicialmente escrever suas equações na forma reduzida.

• Equação da reta 3ax – 6y = 5 na forma reduzida:

$\mathsf{3ax-6y=5}\implies\\\\\implies\mathsf{-6y=-3ax+5}\implies\\\\\implies\mathsf{y=\dfrac{-3a}{-6}x+\dfrac{5}{-6}}\implies\\\\\\\implies\boxed{\mathsf{y=\dfrac{a}{2}x-\dfrac{5}{6}}}$

• Equação da reta 3x – (a – 5) y = 7 na forma reduzida:

$\mathsf{3x-(a-5)y=7}\implies\\\\\implies\mathsf{-(a-5)y=-3x+7}\implies\\\\\implies\mathsf{y=\dfrac{-3x}{-(a-5)}+\dfrac{7}{-(a-5)}}\implies\\\\\\\implies\boxed{\mathsf{y=\dfrac{3}{a-5}x-\dfrac{7}{a-5}}}$

Agora, vamos igualar os coeficientes angulares. Observe:

$\mathsf{\dfrac{a}{2}=\dfrac{3}{a-5}}$

Usando a propriedade fundamental da proporções (o produto dos meios é igual ao produto dos extremos), temos:

$\mathsf{\dfrac{a}{2}=\dfrac{3}{a-5}}\implies\\\\\implies\mathsf{a\cdot(a-5)=3\cdot2}\implies\\\\\implies\mathsf{a^2-5a=6}\implies\\\\\implies\mathsf{a^2-5a-6=0}$

Chegamos a uma equação do segundo grau na incógnita a. Podemos resolvê-la usando as relações de Girard. Precisamos encontrar dois números cuja soma é 5 e cujo produto é -6. Veja que esses números são -1 e 6.

Você poderia usar a fórmula quadrática também. Veja:

• Cálculo do discriminante:

$\mathsf{\Delta=(-5)^2-4(1)(-6)}\implies\\\\\implies\mathsf{\Delta=25+24}\implies\\\\\implies\mathsf{\Delta=49}$

• Determinação das raízes:

$\mathsf{a=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{49}}{2\cdot1}=\dfrac{5\pm7}{2}}$

Temos duas soluções:

$\mathsf{a=\dfrac{5+7}{2}=\dfrac{12}{2}=6}$

ou

$\mathsf{a=\dfrac{5-7}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1}$

Portanto, os valores de a são -1 ou 6.

Resposta: alternativa a) -1 ou 6.

Observação: Veja nas imagens anexas a representação gráfica para os casos a = 6 e a = - 1.

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