Question

para provar por indução.

1 -2² + 3² - ... + ((-1)elevado potencia(n-1) ) n²=((-1)elevado potencia(n-1) ) n(n+1)/2

Answer 1

Para $n=1$ teremos:
$(-1)^{1-1}.1^2 = 1$
$(-1)^{1-1}.\frac{1.(1+1)}{2}=1$

Logo para o caso $n=1$ nossa fórmula funciona.

Suponha válido para $n=k \geq 1$
Ou seja:
$1-2^2+3^2-...+(-1)^{k-1}.k^2=(-1)^{k-1}.\frac{k(k+1)}{2}....(I)$

Queremos provar que tendo $n=k+1$ teremos:
$1-2^2+3^2-...+(-1){k}(k+1)^2=(-1)^k.\frac{(k+1)(k+2)}{2}$

Para provarmos a sentença para $n=k+1$ vamos somar $(-1)^{k}.(k+1)^2$ dos dois lados da equação (I):
$1-2^2+3^2-...+(-1)^{k-1}k^2+(-1)^k(k+1)^2=$ $(-1)^{k-1}\frac{k(k+1)}{2}+(-1)^k(k+1)^2$

Do lado direito da igualdade vamos colocar $(-1)^{k-1}(k+1)$ em evidencia e teremos:
$(-1)^{k-1}(k+1).(\frac{k}{2}-(k+1))=$
$=(-1)^{k-1}(k+1)(\frac{k-2k-2}{2})=$
$=(-1)^{k-1}(k+1)(-1)(\frac{k+2}{2})=$
por fim teremos
$=(-1)^k\frac{(k+1)(k+2)}{2}$

Como queríamos demonstrar