Matemática, perguntado por 01jaque, 1 ano atrás

para o calculo de integral sobre uma curva

Anexos:

01jaque: Escolha uma:
a. Que o valor dessa integral é 1.
b. Que o valor dessa integral é –1.
c. Que o valor dessa integral é 2.
d. Que o valor dessa integral é –2.
e. Que o valor dessa integral é 0.

Soluções para a tarefa

Respondido por Lukyo
1
Para calcular uma integral de linha de um campo vetorial, a curva deve estar orientada. Dado que os pontos que descrevem a curva C foram dados na seguinte ordem:

(0,\,0),\,(1,\,0)~\text{ e }~(0,\,2)

concluímos que a curva é percorrida no sentido anti-horário. Logo, C é uma curva fechada orientada positivamente.

__________________________

Queremos calcular a integral sobre C do seguinte campo vetorial:

\overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\,y)=(3x^2+y)\overrightarrow{\mathbf{i}}+4y^2\overrightarrow{\mathbf{j}}

onde as componentes P e Q do campo são as seguintes funções:

\left\{ \!\begin{array}{l}P(x,\,y)=3x^2+y\\\\ Q(x,\,y)=4y^2 \end{array} \right.


Poderíamos parametrizar a curva C (união de três segmentos de reta) e calcular a integral sobre a curva parametrizada. Porém, como a curva C é fechada e está orientada positivamente, podemos usar o Teorema de Green:

____________________________

O campo está definido em todos os pontos de C, e as derivadas parciais das componentes P e Q são contínuas no interior de C.

____________________________

Pelo Teorema de Green, temos então que

\displaystyle\oint_C\overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\,y)\cdot d\overrightarrow{\mathbf{r}}\\\\\\ =\oint_CP(x,\,y)\,dx+Q(x,\,y)\,dy=\iint_{\mathrm{int}(C)}\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y} \right )d\mathbf{A}~~~~~~\mathbf{(i)}


sendo \mathrm{int}(C) a região do plano contida no interior da curva C.

________________________

\bullet~~\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(4y^2)=0\\\\\\ \bullet~~\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(3x^2+y)=1


Portanto,

\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=0-1\\\\\\ \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=-1

( função constante de x e y )


Substituindo em \mathbf{(i)}, temos

\displaystyle\oint_C P(x,\,y)\,dx+Q(x,\,y)\,dy=\iint_{\mathrm{int}(C)}(-1)\,d\mathbf{A}\\\\\\ =-1\cdot\iint_{\mathrm{int}(C)} d\mathbf{A}


Mas a última integral acima nos fornece a área do triângulo formado pelos três pontos:

\displaystyle\oint_C P(x,\,y)\,dx+Q(x,\,y)\,dy=(-1)\cdot \mathrm{\'Area}(\triangle)\\\\\\ \oint_C P(x,\,y)\,dx+Q(x,\,y)\,dy=(-1)\cdot \dfrac{1\cdot 2}{2}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c} \displaystyle\oint_C P(x,\,y)\,dx+Q(x,\,y)\,dy=-1 \end{array}}


Resposta: alternativa 
\text{b. }-1.

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