Question

Para numerar as páginas de um dicionário, imprimiu-se 1 988 vezes o algarismo 1. Quantas páginas tem esse dicionário?

Answer 1

Observemos que:

(a) a cada dez números imprime-se uma vez o $1$ nas unidades;

b) a cada cem números imprime-se dez vezes o $1$ nas dezenas;

(c) a cada mil números imprime-se cem vezes o $1$ nas centenas.

Assim, de $1$ até $999$, imprime-se o algarismo $1$ um total de $300$ vezes, das quais $100$ vezes nas unidades, $100$ vezes nas dezenas e $100$ vezes nas centenas.

De $1 000$ até $1 999$, imprime-se o algarismo $1$ outras $300$ vezes dentre unidades, dezenas e centenas, mais $1~000$ vezes na posição do milhar.
 
Portanto, entre $1$ e $1~999$, o número de vezes que se imprime o $1$ é $300+300+1~000=1~600$.

Agora, entre $2~000$ e $2~999$, imprime-se o $1$ mais $300$ vezes, completando $1~600+300=1~900$.

De $3~000$ a $3~099$, temos $20$ algarismos $1$, de $3~100$ a $3~119$, temos $32$ algarismos $1$ e, de $3~120$ a $3~149$, temos $32$ algarismos $1$.

Portanto, até $3~149$, o número de vezes que se imprime o $1$ é $1~900+20+32+32=1~984$.

Como faltam $4$ algarismos $1$, o número de páginas do dicionário é $3~152$.

Answer 2

de 1 até 999, imprime-se o algarismo 1 um total de 300 vezes, das quais 100 vezes nas unidades, 100 vezes nas dezenas e 100 vezes nas centenas.
de 1000 até 1999 imprime-se o algarismo 1 300 vezes,mais 1000 vezes na posição do milhar
Portanto, entre 1 e 1999, o número de vezes que se imprime o 1 é 300 + 300 + 1000 + 300 = 1900
Então de 3000 a 3099 temos 20 algarismos 1, de 3100 a 3119, temos 32 algarismos 1 e de 3120 a 3149 temos 32 algarismos 1.
Logo até 3149 o número de vezes que se imprime é o 1 é 1900 + 20 + 32 + 32 = 1984
Então tem 3152 paginas