Question

Para modelar o lucro mensal L(x), em reais, sobre a produção e venda de x unidades de determinado produto, uma pequena empresa utiliza a lei de formação L(x) = ax2 + bx + c, em que a, b, c são constantes reais. Quando a empresa produz e vende nenhuma ou 200 unidades, seu lucro é nulo. Já quando ela produz e vende 15 unidades, seu lucro é 10 200 reais. Qual é o lucro estimado quando essa pequena empresa produzir e vender 100 unidades? A 64 000 B 72 000 C 80 000 D 88 000 E 90 000

Answer 1

Utilizando formulação de funções do segundo grau, temos que teoricamente este lucro seria de R$ 36.756,75.

Explicação:

Toda função do segundo grau pode ser reescrita da seguinte forma:

$L(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$

Onde "a" é uma constante e x1 e x2 são as raízes da função.

Como sabemos que em 0 e 200 o lucro é 0, então as raízes desta função são x=0 e x=200, assim nossa função fica:

$L(x)=a(x-0)(x-200)$

$L(x)=ax(x-200)$

E sabemos também que quando x=15, o lucro é L = 10200, então basta substituirmos:

$L(x)=ax(x-200)$

$10200=a.15(15-200)$

$10200=a.15(-185)$

$10200=-a.2775$

$a=-\frac{10200}{2775}$

$a=-\frac{136}{37}$

Então nossa função fica:

$L(x)=-\frac{136}{37}x(x-200)$

Agora basta substituir x por 100 e encontrarmos o lucro dela:

$L(x)=-\frac{136}{37}100(100-200)$

$L(x)=\frac{136}{37}100.100$

$L(x)=\frac{136}{37}10000$

$L(x)=36756,75$

Assim teoricamente este lucro seria de R$ 36.756,75.

Verifique se todos os valores dados pela questão são estes mesmo, pois estão muito estranhos. Talvez ao invés de 15 unidades seja 150 no enunciado, assim faria muito mais sentido.