Para medir a altura de uma montanha, uma pessoa procura uma região plana próxima da montanha, e encontrou um ponto de onde ela vê o ponto mais alto da montanha com um ângulo de 60º, depois ele anda 600m deste ponto, no sentido contrário da montanha, para ver o ponto mais alto com um ângulo de 30º. Qual é a altura da montanha?
(√3 =1,732)
Soluções para a tarefa
Vamos lá:
Primeiramente:
tg60 = y/x
√3 = y/x
y = √3.x
Temos também:
tg30 = y/600+x
√3/3 = y/600+x
600√3 + √3.x = 3y
y = 600√3 + √3.x / 3
Sabemos que y é igual para ambas:
600√3 + √3.x / 3 = √3.x
600√3 + √3.x = 3√3.x
3√3.x = 600√3 + √3.x
3√3.x - 1√3.x = 600.√3
2√3.x = 600√3
2x = 600
x = 600/2
x = 300 m
√3 = y/300
y = 300√3 m.
y = 300.1,732
→ y = 519,6 m
Mariihmendes,
Primeiro, vamos identificar os pontos através de letras:
- a base da montanha, ponto A
- o topo da montanha, ponto B
- o ponto onde a pessoa vê a montanha sob um ângulo de 60º, ponto C
- o ponto onde ela vê a montanha sob um ângulo de 30º, ponto D
Agora, a resolução:
O triângulo BCD é um triângulo isósceles (BC = CD), pois:
- ângulo C = 180º - 60º = 120º (o ângulo ACB mede 60º conforme o enunciado)
- ângulo D = 30º (dado do enunciado)
- ângulo B = 30º, pois a soma dos ângulos internos é igual a 180º:
B + C + D = 180º
B + 30º + 120º = 180º
B = 180º - 30º - 120º = 30º
Então, a distância BC = CD = 600 m
Analisando agora o triângulo ABC, que é retângulo, e no qual queremos obter a medida de AB, que é a altura da montanha, conhecemos:
- ângulo C = 60º
- hipotenusa BC = 600 m
- AB, cateto oposto ao ângulo C
Então, se você aplicar a função trigonométrica seno, terá:
seno 60º = cateto oposto ÷ hipotenusa
0,866 = AB ÷ 600 m
AB = 0,866 × 600 m
AB = 519,60 m
R.: A altura da montanha é aproximadamente igual a 519,60 m