Question

Para medir a altura de um prédio, um topógrafo procedeu da seguinte forma. Em um ponto A, próximo ao edifício, a partir do solo, o topo do edifício é avistado sob um ângulo de 60°.

Afastando-se 40 metros a partir do ponto A, ele chega ao ponto B, conforme a figura e, a partir do solo, avista o topo do edifício sob um ângulo de 30°. Estando alinhados e num mesmo plano a base do edifício e os pontos A e B, é correto afirmar que a altura do edifício é em metros:

(A reta que contem A e B é perpendicular ao edifício)

Answer 1

Vamos calcular a tangente de 30° do triângulo maior e tangente de 60° do menor triângulo.

$tg(x) = \frac{co}{ca} \\ tg(30) = \frac{h}{x + 40} \\ \frac{1}{ \sqrt{3} } = \frac{h}{x + 40} \\ x + 40 = h \sqrt{3} \\ h = \frac{x + 40}{ \sqrt{3} } \times \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } = \frac{(x + 40) \sqrt{3} }{3}$

Agora faremos a tangente de 60°.

$tg(x) = \frac{co}{ca} \\ tg(60) = \frac{h}{x} \\ \sqrt{3} = \frac{h}{x} \\ x = \frac{h}{ \sqrt{3} } \times \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } = \frac{h \sqrt{3} }{3}$

Nesse isolamos o x, já que não sabemos e substituímos na equação que achamos para o h.

$h = \frac{(x + 40) \sqrt{3} }{3} \\ h = \frac{( \frac{h \sqrt{3} }{3} + 40) \sqrt{3} }{3} \\ h = \frac{( \frac{h \sqrt{3} + 120}{3}) \sqrt{3} }{3} \\ h = \frac{ \frac{3h + 120 \sqrt{3} }{3} }{3} = \frac{3h + 120 \sqrt{3} }{3} \times \frac{1}{3} \\ h = \frac{3h + 120 \sqrt{3} }{9} \\ 9h = 3h + 120 \sqrt{3} \\ 9h - 3h = 120 \sqrt{3} \\ 6h = 120 \sqrt{3} \\ h = \frac{120 \sqrt{3} }{6} = 20 \sqrt{3} \: ou \: 34.64 \: m$

Então a altura do prédio é 20√3 ou aproximadamente 34,64 m.