Question

Para medir a altura da estátua do Cristo
Redentor em Três Lagoas, uma pessoa, a uma
distância de 20m da estátua, observa o topo sob
um ângulo X. Caminhando em direção à estátua,
quando o observador está a 5m da estátua, ele
observa o topo sob um ângulo 2x.Desprezando a altura do pedestal, a altura da
estátua em metros é:
A) 5√2.
B) 10√2.
C) 15√2.
D) 20√2.
E) 25√2.

Answer 1

Resposta: Boa noite, Cássio!

Explicação passo a passo: Chamei o ângulo x de θ e a altura da estátua de h.

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Answer 2

Alternativa B. A altura da estátua em metros é

$10 \sqrt{2}$.

Tangente do arco duplo

Por definição temos que a tangente do arco duplo ou tan(2x) se dá pela fórmula abaixo:

$\tan(2x) = \frac{ \tan(x) + \tan(x) }{1 - \tan(x) \times \tan(x) }$

$\tan(2x) = \frac{ 2\tan(x) }{1 - { \tan^{2}(x) } }$

Tangente de um triângulo retângulo

Um triângulo retângulo possui 2 catetos e 1 hipotenusa. A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90°, e os outros 2 lados são os catetos.

Dado um triângulo retângulo com ângulo "x", teremos que o valor da tangente desse ângulo, dada por tan(x), é o resultado da divisão do cateto oposto a esse ângulo pelo cateto adjacente.

Cálculo da altura da estátua

Para determinarmos a altura da estátua precisamos, primeiramente, calcular a tangente do ângulo x, e do ângulo 2x, ou seja, tan(x) e tan(2x). Assim, temos para o ângulo "x" que o cateto oposto é a altura (que iremos chamar de "h"), e o cateto adjacente será a primeira distância do observador: 20 metros. Já para o ângulo "2x", o cateto oposto continuará sendo a altura "h", mas o cateto adjacente será a nova distância do observador: 5 metros. Assim temos o seguinte:

tan(x) = h/20

tan(2x) = h/5

• Isolando a altura em ambas, temos:

h = 20tan(x)

h = 5tan(2x)

• Como a altura da estátua é a mesma, independente da distância do observador, podemos igualar as suas sentenças:

h=h

20tan(x) = 5tan(2x)

• Mantendo o primeiro membro e aplicando a fórmula de tangente do arco duplo em tan(2x), temos:

$20tan(x) =5 \times ( \frac{ 2\tan(x) }{1 - { \tan^{2}(x) } } )$

$20tan(x) =\frac{ 10\tan(x) }{1 - { \tan^{2}(x) } }$

• Passando o denominador para o primeiro membro, multiplicando, ficamos com:

$20tan(x) \times (1 - \tan^{2}(x) )= { 10\tan(x) }$

• Dividindo ambos os membros por 10tan(x), e dando prosseguimento aos cálculos, resulta em:

$2 \times (1 - \tan^{2}(x)) = 1$

$2 - 2\tan^{2}(x) = 1$

$- 2\tan^{2}(x) = 1 - 2$

$- 2\tan^{2}(x) = - 1$

• Dividindo ambos os membros por (-1), para que a expressão fique positiva, e continuando os cálculos, chegamos ao seguinte:

$2\tan^{2}(x) = 1$

$\tan^{2}(x) = \frac{1}{2}$

$\tan(x) = \frac{ \sqrt{1} }{ \sqrt{2} }$

• Para retirar a raiz do denominador iremos multiplicar o numerador e o denominador pela raiz de 2, que é o mesmo que multiplicando por 1, não afetando o resultado:

$\tan(x) = \frac{ \sqrt{2} }{2}$

• Por fim, como encontramos o valor de tan(x), podemos substituir na primeira expressão da altura "h", chegando ao seguinte resultado:

h = 20tan(x)

$h = 20 \times \frac{ \sqrt{2} }{2}$

$h = 10 \sqrt{2}$

Dessa forma, a alternativa correta referente a altura da estátua é a letra B.

Entenda mais sobre altura de um triângulo retângulo aqui:

https://brainly.com.br/tarefa/5737907

#SPJ1