Question

Para m, w, x, y, z $\in \mathbb{Z}$ e m>0, demonstre que:

$\small\left\{\begin{array}{cccc}w&\equiv& x& (\mathrm{mod} m)\\y&\equiv& z& (\mathrm{mod} m)\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{cccc}w+y&\equiv& x+z& (\mathrm{mod} m)\\w.y&\equiv& x.z& (\mathrm{mod} m)\end{array}\right.$

Answer 1

Resposta:

As demonstrações encontram-se na explicação passo a passo.

Explicação passo a passo:

Devemos nesta questão demonstrar que a soma e o produto em congruências modulares é definida.

Para isto, vamos utilizar a seguintes equivalências:

I. "Se a é congruente a b módulo m, então m divide (b-a)".

a ≡ b mod m ⇒ m | (b-a)

II. "Se a é congruente a b módulo m, então a = mk + b, como k inteiro.

1ª parte: Demonstração da soma usando a equivalência I.

w ≡ x mod m ⇒ m | (w-x)

y ≡ z mod m ⇒ m | (y-z)

Como m divide (w-x) e m divide (y-z), então m divide (w-x)+(y-z)

m | [(w-x) + (y-z)] ⇒ m | [w-x+y-z] ⇒ m | [(w+y) - (x+z)] ⇒ (w+y) ≡ (x+z) mod m

c.q.d.

2ª parte: Demonstração do produto usando a equivalência II.

w ≡ x mod m ⇒ w = mk₁ + x (i)

y ≡ z mod m ⇒ y = mk₂ + z  (ii)

Efetuando o produto entre (i) e (ii) obtemos:

w . y = (mk₁ + x)(mk₂ + z) ⇒ w . y = m²k₁k₂ + mk₁z + mk₂x + x . z ⇒

⇒ w . y = m(mk₁k₂ + k₁z + k₂x) + x . z

Como mk₁k₂ + k₁z + k₂x é inteiro, pois m, k₁, k₂, x, z são inteiros temos:

mk₁k₂ + k₁z + k₂x = k

Portanto,

w . y = mk + xz ⇒ (w . y) ≡ (x . z) mod m

c.q.d.