Question

Para incentivar com a quantia de R$ 600,00 três jogadores A,B e C, o presidente de um clube determinou que a mesma fosse diretamente proporcional ao
número de gols e inversamente proporcional ao número de faltas. Sabendo-se que A,B e C fizeram 2,3 e 4 gols, e 4,2 e 3 faltas, respectivamente, determine quanto o jogador B receberá.
a) R$ 90,00
b) R$ 270,00
c) R$ 180,00
d) R$ 220,00
e) R$ 260,00

Answer 1

Para encontrar um valor diretamente proporcional, fazemos a divisão do valor de gols pela quantidade total de gols.

Para encontrar o valor inversamente proporciona, utilizamos a mesma idéia, porém com a fração invertida, que seria a divisão do total de faltas pela quantidade de faltas cometidas.

Temos também, um total de prêmio, equivalente a R$ 600,00, que será proporcionalmente distribuídos entre os jogadores, e que chamarei de (x).

Desta forma, podemos encontrar a fração relativa ao jogador A:

$A=\dfrac{gols\ do\ jogador\ A}{total\ de\ gols} \times \dfrac{total\ de\ faltas}{faltas\ do\ jogador\ A} \times x\\\\\\ A=\dfrac{2}{9} \times \dfrac{9}{4} \times x\\\\\\ A=\dfrac{2}{\not 9} \times \dfrac{\not 9}{4} \times x\\\\\\ A=\dfrac{2}{4}x=\dfrac{1}{2}x$


Para jogador B:

$B=\dfrac{gols\ do\ jogador\ B}{total\ de\ gols} \times \dfrac{total\ de\ faltas}{faltas\ do\ jogador\ B} \times x\\\\\\ B=\dfrac{3}{9} \times \dfrac{9}{2} \times x\\\\\\ B=\dfrac{3}{\not 9} \times \dfrac{\not 9}{2} \times x\\\\\\ B=\dfrac{3}{2}x$

Para jogador C:

$C=\dfrac{gols\ do\ jogador\ C}{total\ de\ gols} \times \dfrac{total\ de\ faltas}{faltas\ do\ jogador\ C} \times x\\\\\\ C=\dfrac{4}{9} \times \dfrac{9}{3} \times x\\\\\\ C=\dfrac{4}{\not 9} \times \dfrac{\not 9}{3} \times x\\\\\\ C=\dfrac{4}{3}x$


Somando todas s frações, precisamos chegar no valor de R$ 600,00:

$A+B+C=R\ \ 600,00\\\\ Trocando\ as\ letras\ dos\ jogadores\ por\ suas\ respectivas\ fra\c{c}\~oes:\\\\ \dfrac{1x}{2}+\dfrac{3x}{2}+\dfrac{4x}{3}=600\\\\\\ Encontrando\ valor\ de\ x:\\\\\ \dfrac{3x+9x+8x=3.600}{\not6}\\\\ 3x+9x+8x=3.600\\\\ 20x=3.600\\\\ x=\dfrac{3.600}{20}\\\\ x=180$


Sabendo a fração do jogador B e também o valor de x, agora é só calcular o valor referente ao jogador B:

$B=\dfrac{3}{2}\times 180\\\\\\ B=\dfrac{3\times 180}{2}\\\\\\ B=\dfrac{540}{2}\\\\\\ \boxed{B=R\ \ 270,00}$


A alternativa correta é a letra B.

Bons estudos!