Question

Para impedir que a pressão interna de uma panela de pressão ultrapasse um certo valor, em sua tampa há um dispositivo formado por um pino acoplado a um tubo cilíndrico, como esquematizado na figura abaixo.

Enquanto a força resultante sobre o pino for dirigida para baixo, a panela está perfeitamente vedada. Considere o diâmetro interno do tubo cilíndrico igual a 4 mm e a massa do pino igual a 48 g. Na situação em que apenas a força gravitacional, a pressão atmosférica e a exercida pelos gases na panela atuam no pino, a pressão absoluta máxima no interior da panela é

a) 1,1 atm
b) 1,2atm
c) 1,4 atm
d) l,8 atm
e) 2,2 atm

Note e adote:
π = 3
1 atm = 105N/m2
aceleração local da gravidade = 10m/s2

Answer 1

$p \ = \ \frac{F}{A} \\ \\ p \ \rightarrow \ Press\~ao; \\ F \ \rightarrow \ For\c{c}a; \\ A \ \rightarrow \ \'Area...$

$Na \ situa\c{c}\~ao \ de \ veda\c{c}\~ao, \ o \ pino \ pressiona \ o \ tubo \ da \ panela. \\ Assim, \ esse \ pino \ tamb\'em \ pressiona \ o \ interior \ da \ panela.$

$O \ pino \ pressiona \ com \ a \ sua \ for\c{c}a \ peso \ P : \\ \\ P \ = \ m \ . \ g \ (m \ \rightarrow \ massa \ e \ g \ \rightarrow \ ac. \ gravidade)$

$A \ \'area \ de \ aplica\c{c}\~ao \ A \ \'e \ a \ base \ do \ tubo \ cil\'indrico.$

$Logo, \ A \ 'e \ uma \ circunfer\^encia \ de \ \'area : \\ \\ A \ = \ \pi \ . \ (\frac{D}{2})^2 \ \ (em \ que \ D \ \rightarrow \ diam\^etro \ da \ base)$

$Logo, \ a \ press\~ao \ do \ pino \ p_p \ \'e : \\ \\ p_p \ = \ \frac{P}{A} \\ \\ p_p \ = \ \frac{m \ . \ g}{\pi \ . \ (\frac{D}{2})^2 }$

$Dados : \\ \\ \rightarrow \ Massa \ m \ do \ pino \ : 48 \ g \ \Rightarrow \ 48 \ . \ 10^{-3} \ Kg; \\ \rightarrow \ Acelera\c{c}\~ao \ da \ gravidade \ g : \ 10 \ \frac{m}{s^2}; \\ \rightarrow \ \pi \ \approx \ 3; \\ \rightarrow \ Di\^ametro \ D \ da \ base \ do \ tubo : \ 4 \ mm \ \Rightarrow \ 4 \ . \ 10^{-3} \ m;$

$p_p \ = \ \frac{48 \ . \ 10^{-3} \ . \ 10}{3 \ . \ ( \frac{4 \ . \ 10^{-3}}{2} )^2} \\ \\ p_p \ = \ \frac{48 \ . \ 10^{-3} \ . \ 10}{3 \ . \ (2 \ . \ 10^{-3} )^2} \\ \\ p_p \ = \ \frac{48 \ . \ 10^{-2}}{3 \ . \ 4 \ . \ 10^{-6} } \\ \\ p_p \ = \ \frac{48 \ . \ 10^{-2}}{12 \ . \ 10^{-6} } \\ \\ p_p \ = \ 0,4 \ . \ 10^5 \ \frac{N}{m^2} \ \rightarrow \ Press\~ao \ que \ o \ pino \ faz \ na \ panela!$

$A \ press\~ao \ total \ no \ interior \ da \ panela \ p_t \ \'e : \\ \\ p_t \ = \ p_{atm} \ + \ p_p \ \ (em \ que \ p_{atm} \ \'e \ a \ press\~ao \ atmosf\'erica)$

$Sendo \ p_{atm} \ = \ 1 \ atm \ e \ p_p \ = \ 0,4 \ . \ 10^5 \ \frac{N}{m^2} \ : \\ \\ p_t \ = \ 1 \ atm \ + \ 0,4 \ . \ 10^5 \ \frac{N}{m^2} \ \rightarrow \ (10^5 \ \frac{N}{m^2} \ = \ 1 \ atm) \\ \\ p_t \ = \ 1 \ atm \ + \ 0,4 \ atm \\ \\ p_t \ = \ 1 ,4 \ atm \ \rightarrow \ Press\~ao \ total \ no \ interior \ da \ panela! \\ (Logo, \ alternativa \ c)! \ )$

Answer 2

A pressão absoluta máxima no interior da panela é de 1,4 atm.

No momento em que a pressão for máxima teremos uma condição de equilíbrio, ou seja, a força resultante atuando sobre a válvula será igual a zero.

Fr = 0

As forças que agem sobre o pino são o peso do mesmo que aponta para baixo, a força exercida pela coluna de ar atmosférico que também aponta para baixo e a força do gás que aponta para cima.  Fazendo a soma vetorial, teremos-

Fgás - Fatm - Peso = Fr

Fgás - Fatm - Peso = 0

Fgás = Fat + Peso

Sabemos que a pressão é diretamente proporcional à intensidade da força aplicada e inversamente proporcional à área.  

P = F/A

F = P. A

Substituindo o valor de F -

Fgás = Fat + Peso

P. área = Par. área + mg

P. π. R² = Par. π. R² + mg

P. 3,14. (0,002)² = 10⁵. 3,14. (0,002)² + 0,048. 10

P. 1,256. 10⁻⁵ = 10⁵. 1,256. 10⁻⁵ + 0,48

P. 1,256. 10⁻⁵ = 1,256 + 0,48

P. 1,256. 10⁻⁵ = 1,736

P ≅ 1,4 . 10⁵ N/m²

P ≅ 1,4 atm

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