Question

Para ganhar uma aposta, um jogador, ao lançar 3 dados, precisa obter, pelo menos,dois resultados iguais. Qual a probabilidade de isso ocorrer ?

Answer 1

Existem seis possibilidades para cada lançamento de um dado comum.

Deste modo, há $6\times6\times6=216$ casos possíveis.

Vamos imaginar que o trio $(a,b,c)$ satisfaz o enunciado.

Assim, $a=b$ ou $a=c$ ou $b=c$ ou $a=b=c$.

Começando pelo caso $a=b=c$. Temos $6$ possibilidades para $a$, o que já determina $b$ e $c$.

Nos demais casos, há $6$ modos de escolher o primeiro resultado, que já determina o segundo (por exemplo, no caso $a=b$, se escolhermos $a=2$, devemos ter, obrigatoriamente, $b=2$).

E teremos $5$ possibilidades para o terceiro dado, resultando em $6\times5=30$ possibilidades.

Como são três casos idênticos, temos $3\cdot30=90$ possibilidades, somando com o caso $a=b=c$, obtemos $96$,

Logo, a resposta é $\dfrac{96}{216}=\dfrac{4}{9}$.

Outra solução:

Agora vamos supor que $(a,b,c)$ não satisfaz o enunciado.

Deste modo, devemos ter $a$, $b$ e $c$ distintos entre si.

Teremos $6$ modos de escolher $a$, $5$ maneiras de selecionar $b$ e $4$ possibilidades para $c$.

Resultando em $6\times5\times4=120$ casos não favoráveis, ou seja, temos $216-120=96$ casos favoráveis.

Portanto, a probabilidade é $\dfrac{96}{216}=\dfrac{4}{9}$, como obtemos anteriormente.