Question

para função f(x)=x²-6x+5 podemos afirmar que:


f(x) < 0 para x < 4.


f(x) < 0 para 2 < x < 4.


f(x) > 0 para .


f(x) < 0 para .


f(x) < 0 para 2 > x.

Answer 1

Bom dia, Quezia.

Como temos a função e suas respectivas condições, a forma mais simples de resolvermos esse exercício é testando cada condição dentro da função:

f(x) < 0 para x < 4 (Pegaremos um valor de "x" que seja menor que 4 e veremos se a função nos dá um valor menor que zero)

f(x)=x²-6x+5
f(x) = (2)² - 6.(2) + 5
f(x) = 4 -12 + 5
f(x) = -3 [Correto]

f(x) < 0 para 2 < x < 4 (Pegaremos um valor de "x" que esteja entre 2 e 4 e veremos se a função nos dá um valor menor que zero)

f(x)=(3)²-6.(3)+5
f(x) = 9 - 18 + 5
f(x) = -4 [Correto]

f(x) < 0 para 2 > x.(Pegaremos um valor de "x" que seja menor que 2 e veremos se a função nos dá um valor menor que zero)

f(x)=(1)²-6.(1)+5
f(x) = 1 - 6 + 5
f(x) = 0 [Incorreto]


Espero que tenha entendido. Abraços!

Answer 2

Vamos lá.

Veja,  Queziaregina, que a resolução é simples.
Pede-se os sinais da seguinte função:

f(x) = x² - 6x + 5

Antes de iniciar, veja que uma equação do 2º grau, da forma f(x) = ax²+bx+c,com raízes iguais a x' e x'' terá a seguinte variação de sinais:

i) f(x) terá o mesmo sinal do termo "a" (o termo "a" é o coeficiente de x²)  para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes), ou seja, para x < x' ou para x > x''.

ii) f(x) terá sinal contrário ao do termo "a" para valores de "x" intrarraízes (entre as raízes), ou sejam para:  x' < x < x''

iii) f(x) será igual a zero para valores de "x" iguais às raízes, ou seja: para x = x' ou para x = x''.

Bem, visto esses rápidos prolegômenos, agora vamos responder à sua questão. Primeiro vamos encontrar as raízes da equação dada, que é esta:

f(x) = x² - 6x + 5 ---- para encontrar as raízes igualaremos f(x) a zero. Logo:
x² - 6x + 5 = 0 ----- se você aplicar Bháskara vai encontrar as seguintes raízes:

x' = 1
x'' = 5

Veja que, obedecendo ao que se disse nos itens "i", "ii" e "iii" acima, teremos que a variação de sinais da função da sua questão será esta:

f(x) = x²-6x+5.... + + + + + + + + (1) - - - - - - - - - - -  (5) + + + + + + + + + + +

Veja que a variação de sinais da função f(x) = x²-6x+5 dar-se-á da seguinte forma, conforme o gráfico acima:

f(x) > 0 , para valores de "x" extrarraízes, ou para:  x < 1,  ou x > 5
f(x) < 0, para valores de "x" intrarraízes, ou para: 1 < x < 5
f(x) = 0, para valores de "x" iguais às raízes, ou para: x = 1, ou para x = 5.

Dessa forma, verificando as opções dadas, nota-se que você não completou as opções das letras "c" e "d" que, possivelmente, entre elas, poderia estar a opção verdadeira, com a inclusão das raízes "1" e "5".

Pela nossa resposta dada acima, então você poderá, após verificar qual seria a redação das letras "c" e "d", indicar qual a opção verdadeira,incluindo as raízes da equação (que são: x' = 1 e x'' = 5).

De qualquer forma, a opção da letra "b", que diz que: f(x) < 0 para: 2 < x < 4,  também  é verdadeira (embora não inclua as raízes "1" e "5" da função) pois, pelo gráfico acima, você vê que entre as raízes a função f(x) é negativa. Logo, você poderá eleger a opção "b" como a verdadeira, se realmente era essa a intenção da questão.

Todas as outras opções são falsas, pois: pela opção do item "a" tem-se: f(x) < 0, para x < 4. Veja: sendo x < 4,então ele poderia ser zero,concorda? e para x = 0 iremos ter que f(x) é positivo. Logo a opção "a" é falsa. Para a opção "e" tem-se que f(x) < 0 para x < 2. Note que esta opção é falsa, pois para x = 0 (que é menor do que "2") já vimos que f(x) é positivo. Logo, a opção do item "e" também é falsa.
Como você não deu as opções dos itens "c" e "d" nada poderemos dizer sobre elas.
Assim, na falta de outra coisa, o jeito é eleger a opção do item "b" como verdadeira, pois, como já vimos antes, ela é verdadeira embora não incluindo as raízes "1" e "5". Mas no intervalo entre "2" e "4" a função é negativa. Por isso, a opção do item "b" poderá ser eleita como verdadeira.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.