Question

Para formar uma comissão com 7 alunos se candidataram 6 do ensino fundamental e 4 do ensino médio.quantas formas de compor está comissão existem de forma que sempre exista um aluno do ensino médio participando?

Answer 1

Como queremos formar comissões, utilizaremos a fórmula da Combinação:

$C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$,

pois a ordem não é importante na hora de formar grupos.

De acordo com o problema, cada comissão deverá conter pelo menos um aluno do Ensino Médio.  Como existem 4 alunos do Ensino Médio e 6 alunos do Ensino Fundamental, então temos as seguintes possibilidades:

1 aluno do Ensino Médio e 6 alunos do Ensino Fundamental,

2 alunos do Ensino Médio e 5 alunos do Ensino Fundamental,

3 alunos do Ensino Médio e 4 alunos do Ensino Fundamental,

4 alunos do Ensino Médio e 3 alunos do Ensino Fundamental.

Sendo assim, temos que:

C(4,1).C(6,6) + C(4,2).C(6,5) + C(4,3).C(6,4) + C(4,4).C(6,3) =

$\frac{4!}{1!3!}. \frac{6!}{6!0!}+ \frac{4!}{2!2!}. \frac{6!}{5!1!}+ \frac{4!}{3!1!}. \frac{6!}{4!2!}+ \frac{4!}{4!0!}. \frac{6!}{3!3!} =$

4.1 + 6.6 + 4.15 + 1.20 =

4 + 36 + 60 + 20 =

120.

Portanto, existem 120 formas de compor essa comissão.