Question

Para facilitar a localizaçao de suas ruas, o mapa de uma cidade foi desenhado em um sistema de coordenadas.
Nesse mapas o quadrado SENA apresenta uma praça que tem o contorno quadrado. Na figura abaixo,foram marcados
apenas os vertices opostos E(-2,-3) e A(2,-1) do quadrado SENA


a) No centro do quadrado que forma o contorno da praça, localiza-se um posto de informações para turistas. No mapa,
quáis so as coordenadas do ponto que deve representar o posto de informações?
b) Cada unidade de comprimento do sistema de coordenadas do mapa corresponde a 30 metros na realidade com essa
informação, calcule a distância entre os pontos E e A e a área ocupada pela praça.
c) O vértice S do quadrado SENA localiza-se sobre o edo das abscissas do mapa. Determine as coordenadas do vértice S.
d) Quais são as coordenadas do vértice N?​

Answer 1

As coordenadas do ponto que deve representar o posto de informações são C = (0,-2); A distância entre os pontos E a A é aproximadamente 134 m e a área é 8978 m²; O vértice S é S = (-1,0); O vértice N é (1,-4).

a) Se o quadrado é SENA, então EA é uma diagonal do quadrado.

O ponto médio da diagonal corresponde ao centro do quadrado. Sendo C esse centro, temos que:

2C = A + E

2C = (2,-1) + (-2,-3)

2C = (2 - 2, -1 - 3)

2C = (0,-4)

C = (0,-2).

b) Calculando a distância entre A e E, obtemos:

d² = (2 + 2)² + (-1 + 3)²

d² = 4² + 2²

d² = 16 + 4

d² = 20

d = 2√5.

Como cada unidade de comprimento corresponde a 30 metros, então a distância entre A e E é:

d = 2.30√5

d ≈ 134 m.

Chamando de l o lado do quadrado, temos que:

134² = l² + l²

17956 = 2l²

l² = 8978 m².

c) O ponto S está sobre o eixo das abscissas. Então, S é da forma S = (x,0).

A distância entre A e S é igual a √10 (lado do quadrado).

Logo:

(x - 2)² + (0 + 1)² = 10

x² - 4x + 4 + 1 = 10

x² - 4x + 5 - 10 = 0

x² - 4x - 5 = 0.

Assim, obtemos dois valores: x = -1 ou x = 5.

Ao montarmos o quadrado no plano cartesiano, não é possível ter x = 5.

Logo, S = (-1,0).

d) O ponto médio da diagonal SN é o ponto C.

Considerando N = (x,y), obtemos:

(0,-2) = ((x - 1)/2, (y + 0)/2)

x = 1 e y = -4.

Logo, N = (1,-4).