Question

para f(x,y) = 6x +5y, determine:

F(x,y+k)-f(x,y)/k

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{\partial f}{\partial y}=5}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Devemos encontrar a derivada parcial da função utilizando a definição por limite.

Seja uma função de duas variáveis $f(x,~y)$. Suas derivadas parciais podem ser encontradas utilizando a definição por limite:

$\dfrac{\partial}{\partial x} f(x,~y)=\underset{k\rightarrow 0}\lim~\dfrac{f(x+k,~y)-f(x,~y)}{k}\\\\\\\\ \dfrac{\partial}{\partial y} f(x,~y)=\underset{k\rightarrow 0}\lim~\dfrac{f(x,~y+k)-f(x,~y)}{k}$

Neste caso, buscamos a derivada da função em respeito à variável $y$.

Seja a função $f(x,~y)=6x+5y$.

Substituindo esta função na definição de derivada parcial por limite, teremos:

$\dfrac{\partial}{\partial y} f(x,~y)=\underset{k\rightarrow 0}\lim~\dfrac{6x+5(y+k)-(6x+5y)}{k}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\underset{k\rightarrow 0}\lim~\dfrac{6x+5y+5k-6x-5y}{k}$

Cancele os termos opostos

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\underset{k\rightarrow 0}\lim~\dfrac{5k}{k}$

Simplifique a fração

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\underset{k\rightarrow 0}\lim~5$

Sabendo que o limite de uma constante é a própria constante, temos

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=5$

Este é o resultado que buscávamos.