Question

Para estimar o lucro de uma empresa é necessário ter o conhecimento da receita que a mesma obtêm ao vender seus produtos e do custo de produção de cada unidade. Tanto a receita quanto o custo são geralmente uma função da quantidade de produtos vendidos e produzidos, respectivamente e podem ser representados por R(x) e C(x), sendo x a quantidade de produtos vendidos ou fabricados. Sabendo que o preço unitário de venda de uma dada mercadoria é de R$750,00 e que o custo unitário de produção é dado pela função C(x) apresentada a seguir,

C(x) = 2x2 + 10x - 30

​Determine a quantidade de mercadoria necessária para obtenção do lucro máximo (L(x)=R(x) - C(x) e assinale a alternativa que apresenta a quantidade de produto e o lucro obtido por esta quantia.

Alternativas
Alternativa 1:
Produção de 170 unidades com lucro de R$68.030,00.

Alternativa 2:
Produção de 195 unidades com lucro de R$68.680,00.

Alternativa 3:
Produção de 155 unidades com lucro de R$66.680,00.

Alternativa 4:
Produção de 185 unidades com lucro de R$68.480,00.

Alternativa 5:
Produção de 165 unidades com lucro de R$67.580,00.

Answer 1

A receita de uma empresa é dada pelo produto entre o preço de venda e a quantidade do produto vendido, sendo x esta quantidade, sabe-se que:

R(x) = 750x

O custo foi dado no enunciado:

C(x) = 2x² + 10x - 30

Então o lucro é dado pela função:

L(x) = R(x) - C(x)

L(x) = 750x - 2x² - 10x + 30

L(x) = -2x² + 740x + 30

O lucro máximo e a quantidade vendida para chegar neste valor é dado pelo vértice desta parábola, sendo suas coordenadas calculadas por:

xv = -b/2a

yv = -Δ/4a

Substituindo os valores, tem-se:

xv = -740/2(-2)

xv = 185 unidades

yv = -(740² - 4(-2)(30)/4(-2)

yv = R$68480,00

Resposta: alternativa 4