Question

Para estes valores reais de k a função f(x)=kx elevado a 2 -6x+1 admite raízes reais e diferentes?

Answer 1

Para que uma função tenha raízes reais e difrentes, o delta deve ser maior que zero (Δ > 0).

$f(x)=kx^2-6x+1 \\ \\ \\ \Delta=(-6)^2-4\cdot k\cdot1 \\ \\ \Delta=36-4k \\ \\ \\ 36-4k\ \textgreater \ 0 \\ \\ -4k\ \textgreater \ -36 \\ \\ 4k\ \textless \ 36 \\ \\ k\ \textless \ 9$

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Vanessa, que a resolução é simples. 
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento. 

i) Pede-se para determinar o valor de "k" para que a equação abaixo tenha duas raízes reais e diferentes:

f(x) = kx² - 6x + 1

ii) Antes veja que uma equação do 2º grau, da forma ax² + bx + c = 0, ela terá raízes reais e diferentes se e somente se o seu delta (Δ = b²-4ac) for maior do que zero. 

Note que os coeficientes da sua questão acima são estes: a = k --- (é o coeficiente de x²); b = -6 --- (é o coeficiente de x); e c = 1 --- (é o coeficiente do termo independente). 

Veja que o Δ (b²-4ac)  da sua equação acima é este (vide coeficientes, ok?):

b² - 4ac = ((-6)² - 4*k*1 = 36 - 4k <--- Este é o Δ da equação da sua questão. 
Como queremos que a equação tenha duas raízes reais e diferentes, então vamos impor que o delta (36-4k) seja MAIOR do que zero. Fazendo isso, teremos:

36 - 4k > 0 ---- passando "36" para o 2º membro, temos: 
- 4k > - 36 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficaremos:
4k < 36 --- isolando "k", teremos: 
k < 36/4 
k < 9 ---- Esta é a resposta. Ou seja, para que a equação do 2º grau da sua questão tenha duas raízes reais e diferentes, então "k" deverá ser menor do que "9". 

Observação: você deve ter notado que quando se multiplica uma desigualdade por "-1" o seu sentido muda (o que era > passa pra < e vice-versa).

É isso aí. 
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.