Question

Para essa questão considere o seguinte problema:
É comum em cidades de vários portes as secretarias responsáveis pela mobilidade urbana fazerem mudanças no transito para melhorar o tempo de deslocamentos. Em Maringá, por exemplo, houve uma mudança em janeiro de 2010 com a implantação do sistema binário, que consiste na transformação das avenidas São Paulo, Herval, Duque de Caxias e Paraná em mão única, com duas vias fazendo o sentido norte- sul e outras duas o inverso. O intuito de tal mudança, segundo a Secretaria de Transportes (Setran) foi dar mais fluidez ao transito de uma forma geral.

Para analise de transito, supomos que a Setran, durante várias semanas, vem registrando a velocidade dos veículos que passam pelo cruzamento da Avenida São Paulo e a Avenida Brasil no centro da cidade de Maringá-Pr. Os resultados mostram que entre 5 e 8 horas, a velocidade média neste cruzamento é dada aproximadamente por $v(t) = t^3 - 9t^2 + 120$ km/h, onde t é o número de horas no intervalo [5, 8]. Neste sentido, analise as afirmativas seguintes.

I. Às 7h a velocidade média do transito era de 22 km/h.
II. O instante entre 5 e 8 horas, em que o trânsito é mais rápido é as 8 horas.
III. O instante entre 5 e 8 horas, em que o transito é mais lento é às 6 horas.

É correto o que se afirma em:
Alternativa 1: I apenas.

Alternativa 2: II apenas.

Alternativa 3: I e II apenas.

Alternativa 4: II e III apenas.

Alternativa 5: I, II e III.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

I. Às 7h a velocidade média do transito era de 22 km/h.

=> Verdadeiro.

$\sf v(t)=t^3-9t^2+120$

=> Para t = 7h:

$\sf v(7)=7^3-9\cdot7^2+120$

$\sf v(7)=343-9\cdot49+120$

$\sf v(7)=343-441+120$

$\sf \red{v(7)=22~km/h}$

III. O instante entre 5 e 8 horas, em que o transito é mais lento é às 6 horas.

=> Verdadeiro

$\sf v(t)=t^3-9t^2+120$

$\sf v'(t)=3\cdot t^2-2\cdot9t$

$\sf v'(t)=3t^2-18t$

$\sf 3t^2-18t=0$

$\sf 3t\cdot(t-6)=0$

• $\sf 3t=0~\Rightarrow~t'=0$, ponto de máximo

• $\sf t-6=0~\Rightarrow~\red{t"=6}$, ponto de mínimo

Logo, o trânsito é mais lento às 6 horas.

II. O instante entre 5 e 8 horas, em que o trânsito é mais rápido é as 8 horas.

=> Verdadeiro

$\sf v(t)=t^3-9t^2+120$

=> Para t = 5h:

$\sf v(5)=5^3-9\cdot5^2+120$

$\sf v(5)=125-9\cdot25+120$

$\sf v(5)=125-225+120$

$\sf v(5)=20~km/h$

=> Para t = 8h:

$\sf v(8)=8^3-9\cdot8^2+120$

$\sf v(8)=512-9\cdot64+120$

$\sf v(8)=512-576+120$

$\sf v(8)=56~km/h$

Os pontos críticos de v(t) são 0 e 6, sendo 6 o ponto de mínimo. Logo, v(t) é crescente no intervalo [6, 8] e decrescente no intervalo [5, 6].

Além disso, v(8) > v(5), então v(8) é valor máximo de v(t) no intervalo [5, 8]

Alternativa 5: I, II e III.