Question

Para encontrarmos o limite de uma função em pontos de descontinuidades, devemos calcular os valores da função nas vizinhanças do ponto em questão, nesse caso o conceito de limite está ligado ao comportamento da função nas proximidades de x0. Qual é o limite da função y = (2x² - 5x - 33) / (x² + 4x + 3) quando x tende -3?

A) 17/2

B) -5/4

C) -5/2

D) 17/4

E) -17/2

Answer 1

Calcular o limite da função

     $\underset{x\to -3}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{2x^2-5x-33}{x^2+4x+3}$


A função em questão é uma função racional:

     $f(x)=\dfrac{N(x)}{D(x)}$

onde

     $N(x)=2x^2-5x-33\quad\mathsf{e}\quad D(x)=x^2+4x+3.$


A princípio poderíamos tentar fazer x tender a −3 diretamente. Contudo,

     $N(-3)=2\cdot (-3)^2-5\cdot (-3)-33\\\\ N(-3)=2\cdot 9-5\cdot (-3)-33\\\\ N(-3)=18+15-33\\\\ N(-3)=0$


     $D(-3)=(-3)^2+4\cdot (-3)+3\\\\ D(-3)=9-12+3\\\\ D(-3)=0$


Como x = −3 zera o denominador, então x = −3 não está no domínio de f. Além disso, ao fazer x tender a −3, caímos em uma indeterminação do tipo 0/0. Isso porque x = −3 é uma raiz dos polinômios N(x) e D(x).

Para contornar essa dificuldade, vamos lembrar do seguinte teorema:

     "Se x = a é raiz de um polinômio P(x), então P(x) é divisível por (x − a)."


Logo, podemos fatorar o numerador e o denominador por (x + 3).

Vamos fazer fatoração por agrupamento.

     $N(x)=2x^2-5x-33$


Reescreva convenientemente −5x como + 6x − 11x:

     $N(x)=2x^2+6x-11x-33\\\\ N(x)=2x(x+3)-11(x+3)\\\\ N(x)=(x+3)(2x-11)$


De modo semelhante,

     $D(x)=x^2+4x+3\\\\ D(x)=x^2+3x+x+3\\\\ D(x)=x(x+3)+1(x+3)\\\\ D(x)=(x+3)(x+1)$


e o limite fica

     $=\underset{x\to -3}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{(x+3)(2x-11)}{(x+3)(x+1)}$


Simplifique o fator comum (x + 3) que aparece no numerador e no denominador:

     $=\underset{x\to -3}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{2x-11}{x+1}\\\\\\ =\dfrac{2\cdot (-3)-11}{(-3)+1}\\\\\\ =\dfrac{-6-11}{-3+1}\\\\\\ =\dfrac{-17}{-2}$

     $=\dfrac{17}{2}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$


Resposta:  alternativa  A) 17/2.


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Bons estudos! :-)